Beispiel Fixpunktsatz (Banach) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch:
f(x,y) = [mm] \frac{1}{4} \vektor{y^{2} - 3 \\ x^{2} + 3}
[/mm]
Zeigen Sie: f hat im Quadrat [-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1] genau einen Fixpunkt |
Hallo.. Ich habe das nun wie folgt gemacht..ich möchte die Vor. des Fixpunktsatzes von Banach überprüfen..
A:= [-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1] ist abgeschlossene Teilmenge des Banachraums [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Jetzt muss man noch überprüfen ob f in A eine Selbstabbildung ist..und da bin ich mir jetzt unsicher..habe das jetzt wie folgt gemacht:
-1 < -0,75 [mm] \le 0,25(y^{2} [/mm] - 3) [mm] \le [/mm] 0,25 [mm] y^{2} \le [/mm] 0,25, da y [mm] \in [/mm] [0,1]
-1 < 0 [mm] \le 0,25(x^{2} [/mm] + 3) [mm] \le [/mm] 0,25 + 0,75 = 1, da x [mm] \in [/mm] [0,1]
Geht das so?
Könnte ich (auch wenn das hier unsinnig wäre), auch beide Komponenten einzelnd betrachten, diese ableiten und dann eine evtl. Monotonie benutzen?
Nun noch die Kontraktion..da nehme ich beide Komponenten her und sehe, dass diese durch 1/2 beschränkt sind..das ist dann die Kontraktionskonstante und die ist offenbar <1..
vor sind also erfüllt..
kann man das so machen? (natürlich schöner ausformuliert)..
Danke
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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In den Ungleichungen muß es natürlich "da [mm]y^2 \in [0,1][/mm]" und "da [mm]x^2 \in [0,1][/mm]" heißen. Vermutlich ein Schreibfehler.
Ich hätte es einfach so gemacht: Wegen [mm]-1 \leq x \leq 1 , \, -1 \leq y \leq 1[/mm] folgt:
[mm]0 \leq x^2 \leq 1 \ \ \Rightarrow \ \ 3 \leq x^2 + 3 \leq 4 \ \ \Rightarrow \ \ \frac{3}{4} \leq \frac{1}{4} \cdot \left( x^2 + 3 \right) \leq 1[/mm], und analog: [mm]-\frac{3}{4} \leq \frac{1}{4} \left( y^2 - 3 \right) \leq - \frac{1}{2}[/mm]
So hat man bestmöglich abgeschätzt. Das ist natürlich nicht nötig. Aber wenn es so auch nicht schwerer ist ...
Und bei der Lipschitzstetigkeit geht es nicht um die Beschränktheit der Funktionswerte, sondern es wird die Norm der Differenz zweier Funktionswerte mit der Norm ihrer Argumente verglichen. Aus deiner Formulierung geht das nicht hervor.
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