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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 So 14.12.2008 | | Autor: | Ic3b0ng |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgenden Behauptungen für Matrizen über dem Körper K.
(1) A sei die Diagonalmatrix
[mm] \begin{pmatrix}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n \\
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] a_i \in [/mm] K. Dann gilt rang(A) = n − |{i | [mm] a_i [/mm] = 0}|.
(2) Eine obere Dreiecksmatrix
[mm] \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
[/mm]
hat genau dann den Rang n, wenn [mm] a_{11} [/mm] · [mm] a_{22} [/mm] · [mm] \cdots [/mm] · [mm] a_{nn} \ne [/mm] 0.
(3) B sei eine Matrix der Gestalt
[mm] \begin{pmatrix}
a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\
a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_nb_1 & a_nb_1 & \cdots & a_nb_n \\
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] a_i, b_j \in [/mm] K, wobei wenigstens eine der Zahlen [mm] a_i [/mm] und wenigstens eine der Zahlen [mm] b_j [/mm] von Null verschieden sind. Dann hat die Matrix B den Rang 1.
(4) Permutationsmatrizen aus M(n;K) haben den Rang n. |
Zu (1) weiss ich das es gilt, da bis auf die Diagonale [mm] a_1 \cdots a_n [/mm] in der Matrix A auf jeden Fall alles den Wert 0 hat.
Die größe der Matrix A wird durch n bestimmt.
Der Rang der Matrix A ergibt sich aus n - der Anzahl der 0-Zeilen, also die Zeilen wo [mm] a_i [/mm] = 0 ist, welche nicht als Stufen gezählt werden.
Für z.B. n = 5 ergibt sich folgende Matrix:
wobei ich für [mm] a_1 \cdots a_5 [/mm] beliebige Werte einsetze die im Körper K liegen, den ich in meinem Fall z.B. als Körper [mm] \IR [/mm] wähle.
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Bei dieser Beispiel-Matrix würde der Rang laut der Gleichung rang(A) = n - |{i | [mm] a_i [/mm] = 0}| ... 5 - 2 = 3 ergeben.
Aber was meinen sie mit der Aufgabenstellung überprüfen?.. Das is mir nicht ganz klar. Das gleiche gilt für (2), (3).
Zu (2) weiss ich, dass solange kein [mm] a_{11} \cdots a_{nn} [/mm] = 0 ist
dann folgt [mm] a_{11} [/mm] * [mm] \cdots [/mm] * [mm] a_{nn} \ne [/mm] 0.
Bei (3) weiss ich auch was sie meinen.
Mir geht es um die Fragestellung "Überprüfen Sie..." und (4).
Ich bin mir bei (4) nicht sicher was sie mit Permutationsmatrizen aus M(n;k) meinen.
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Vielen Dank schonmal im Voraus.
mfg
Tino
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst auf eure Definition von Rang zurückgreifen. üblicherweise ist das die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten -oder Zeilenvektoren.
Wenn ihr ne andere Def. habt musst du die benutzen!
die hast du mit den Nullzeilen in 1 direkt.
also alle Zeilen ohne 0 sind lin unabh. mehr lin unabh. gibt es nicht. Ende
in 2 genauso, wenn keines der Diagonalelemente 0 ist.
in 3 musst du eben zeigen, dass alle Zeilen oder Spaltenvektoren proportional sind, d.h. nur 1 lin unabh.
in 4 entsprechend. Dabei sieh Permutationsmatrix in deinem skript oder wiki nach.
Gruss leduart
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