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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 12.11.2008 | | Autor: | DerDon |
Guten Abend!
Ich habe mal eine etwas andere Frage:
Heute im Mathematikunterricht haben wir eine Aufgabe gerechnet mit der Funktion f(x) = [mm] x*(x-2)^2*(x+2)^2 [/mm] . Die Nullstellen sind also bei -2, 0 und 2 . Dazu haben wir uns noch notiert, dass die Integralfunktion bei -2 einen Terassenpunkt, bei 0 einen Tiefpunkt und bei 2 wieder einen Terassenpunkt hat. Außerdem bei den Hoch- und Tiefpunkten der normalen Funktion einen Wendepunkt. Das ist anscheinend immer so (oder?).
Nun meine Frage: Gibt es solche Umrechnungen" (Hochpunkt beim Graphen der normalen Funktion = Wendepunkt beim Graphen der Integralfunktion) auch für andere bestimmte Punkte einer Funktion?
Das wäre mir eine echte Hilfe, um einen Graph einer solchen Integralfunktion zu zeichnen. Ich weiß, dass I'(x) gleich f(x) ist, allerdings kann ich mir darunter nicht wirklich etwas vorstellen.
Schonmal danke für eure Hilfe!
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Hallo DerDon,
ihr habt anscheinend ein bisschen mit der Reihenfolge der Ableitungen rumgespielt. Aber im Grunde ist es ganz logisch, wenn man weiß, wie die Ableitungen miteinander verknüpft sind.
Wie du sicher weißt geben die Nullstellen deiner Ausgangsfunktion die Stellen an, an denen der graph einer Funktion die x-Achse schneidet. Soweit klar, denke ich.
Die Nullstellen der 1. Ableitung geben die Stellen an, an denen die Funktion Extempunkte (Hoch-/Tief) hat an. soweit auch klar, oder?
Und die Nullstellen der 2. Ableitung geben die Stellen an, an denen die Ausgangsfunktion möglicherweise Wendepunkte haben kann an. Das sollte auch klar sein.
Nun habt ihr ein wenig rumgestellt. Zunächst habt ihr von f(x) die Nullstellen ermittelt und diese auch als solche interpretiert. Dann aber wurde gesagt, dass f(x)=I'(x) sei. Die eigentliche Ausgangsfunktion sei also die Ableitung einer Stammfunktion I(x). Demzufolge stellen die Nullstellen von f(x) nicht mehr die eigenlichen Nullstellen dar, sondern, in Bezug auf I(X), sind sie die Nullstellen der 1. Ableitung, also die Stellen, an denen I(x) Extrempunkte hat. Klar?
Ähnlich ist die Argumentation mit den Wendepunkten von I(x). Es wird darauf verwiesen, dass die Stellen an denen f(x) Extrempunkte hat, bei I(x) Wendepunkte vorliegen. Das ist auch ganz logisch, dann die 2. Ableitung von ist ja gleich der ersten Ableitung von f(x), also I''(x)=f'(x) da ja gelten soll I'(x)=f(x). Wenn du also die Extrempunkte von f(x) kennst, dann weisst du auch gleichzeitig wo I(x) Wendepunkte haben kann.
Ich weiss, dass klingt alles ein wenig chaotisch, aber wenn man sich das ganze ein bisschen länger betrachtet, dann sollte es einleuchten. Wenn nicht, einfach hier nachfragen. 
gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 12.11.2008 | | Autor: | DerDon |
Ist so weit klar, vielen Dank!
Also ganz kurz ausgedrückt:
Die Nullstellen von f(x) sind die Extrempunkte von I(x)
Die Extrempunkte von f(x) sind die Wendepunkte von I(x)
richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo DerDon,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") richtig verstanden.
Liebe Grüße
Herby
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