Begradigung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Aufgabe
Wir betrachten die Kreislinie
$S^-1 := [mm] \{x \in R^2 | \parallel $ x $ \parallel_{2} =1\}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass $S^-1$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] $R^2 [/mm] $ ist und geben Sie einen Diffeomorphismus [mm] \Phi: [/mm] U(1,0) [mm] \to [/mm] U(0,0)$ und
$ [mm] \phi(K\cap [/mm] U(1,0)) = [mm] \{(x,y) $ \in $ U(0,0) | x=0\} [/mm] $ |
Zum ersten Aufgabenteil :
Sei $ g(x) = [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel_{2} [/mm] -1 [mm] \Rightarrow [/mm] D(g) = [mm] (\frac{x_1}{||x||_2},\frac{x_2}{||x||_2})\Rightarrow \, \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] S^-1 [mm] \, \, \, [/mm] gilt [mm] \, \, \, [/mm] g(x) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Dg(x) $ hat den Rang 1.
Zum zweiten Aufgabenteil, würde ich die Funktion [mm] $\Phi(x,y) \to [/mm] (x-1,y)$ wählen.
Ist die Richtig
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe
> Wir betrachten die Kreislinie
> [mm]S^-1 := \{x \in R^2 | \parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2} =1\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass $S^-1$ eine eindimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]$R^2[/mm] $ ist und geben Sie einen
> Diffeomorphismus [mm]\Phi:[/mm] U(1,0) [mm]\to[/mm] U(0,0)$ und
> [mm]\phi(K\cap U(1,0)) = \{(x,y)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]U(0,0) | x=0\}[/mm]
>
> Zum ersten Aufgabenteil :
>
>
> Sei [mm]g(x) = \parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2} -1 \Rightarrow D(g) = (\frac{x_1}{||x||_2},\frac{x_2}{||x||_2})\Rightarrow \, \forall x \in S^-1 \, \, \, gilt \, \, \, g(x) \neq 0 \Rightarrow Dg(x)[/mm]
> hat den Rang 1.
>
> Zum zweiten Aufgabenteil, würde ich die Funktion [mm]\Phi(x,y) \to (x-1,y)[/mm]
> wählen.
> Ist die Richtig
Ja, wenn Du mit U(1,0) und U(0,0) die offenen Kugeln mit Radius 1 um (1,0) bzw. (0,0) meinst.
Was soll denn K sein ?
FRED
>
> Viele Grüße
>
> Nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Sorry ich habe mich vertippt.
$K = {S^-1}$
Lg
Nadia
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