Bedingungen für lin. Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:31 Di 23.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] i.i.d. Zufallsvariablen mit [mm] $E[X_1] [/mm] = [mm] a\in \IR$, $Var[X_1] [/mm] = [mm] b\in (0,\infty)$, [/mm] beide unbekannt. Ein linearer Schätzer [mm] $T_n$ [/mm] für $a_$ hat die Form [mm] $T_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^na_iX_i$ [/mm] , [mm] $a_1,...,a_n\in \IR$.
[/mm]
a) Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten [mm] $a_i$, [/mm] $i=1,...,n_$ erfüllen, damit [mm] $T_n$ [/mm] erwartungstreu für $a_$ ist?
b) Betrachten Sie nur erwartungstreue Schätzer für $a_$. Bestimmen Sie die Koeffizienten [mm] $a_i$, [/mm] $i=1,...,n_$ so, dass die Varianz von [mm] $T_n$ [/mm] minimal wird. |
Zu a: Ich denke, dass sie i.i.d. sein müssen. Aber das steht ja bereits in der Aufgabenstellung, daher denke ich nicht, dass die Lösung wirklich so einfach ist.
Zu b: Hier fehlt mir komplett der Ansatz. Es wurde doch nirgendwo etwas Konkretes genannt, was ich nun ausrechnen könnte?!
Ich würde mich freuen wenn mir hierbei jemand auf die Sprünge helfen könnte, danke!
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Wie verlangt:
Schreibe also bitte einen der folgenden Sätze an den Anfang oder das Ende Deiner Frage (abtippen oder kopieren):
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 23.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Peter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zu a: Ich denke, dass sie i.i.d. sein müssen. Aber das
> steht ja bereits in der Aufgabenstellung, daher denke ich
> nicht, dass die Lösung wirklich so einfach ist.
Wann ist denn ein Schaetzer erwartungstreu (Definition)?
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> Zu b: Hier fehlt mir komplett der Ansatz. Es wurde doch
> nirgendwo etwas Konkretes genannt, was ich nun ausrechnen
> könnte?!
Schaun mer mal.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 23.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
> Wann ist denn ein Schaetzer erwartungstreu (Definition)?
Ich würde jetzt sagen wenn [mm] E(T_n) [/mm] = a ist ist [mm] T_n [/mm] erwartungstreu. Nur ist das kein Kriterium für [mm] a_i. [/mm] Wie kann ich da den Zusammenhang herstellen?
(Nebenfrage zur Konvention: Warum heißt der Schätzer nicht "a dach"? Hat "T" in der Statistik eine besondere Bedeutung?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 23.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> > Wann ist denn ein Schaetzer erwartungstreu (Definition)?
>
> Ich würde jetzt sagen wenn [mm]E(T_n)[/mm] = a ist ist [mm]T_n[/mm]
> erwartungstreu. Nur ist das kein Kriterium für [mm]a_i.[/mm] Wie
> kann ich da den Zusammenhang herstellen?
Indem du [mm]E(T_n)[/mm] mal explizit ausrechnest:
[mm]E(T_n)=E[\sum_i a_iX_i]=\ldots[/mm]
>
> (Nebenfrage zur Konvention: Warum heißt der Schätzer
> nicht "a dach"?
Kann er auch. Dann wuerde der Bezug zu $a_$ deutlicher.
> Hat "T" in der Statistik eine besondere Bedeutung?)
Nein.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 23.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
> Indem du $ [mm] E(T_n) [/mm] $ mal explizit ausrechnest:
[mm] E(T_n)
[/mm]
[mm] =E(sum_{i=1}^n a_i*X_i)
[/mm]
[mm] =sum_{i=1}^n E(a_i)*E(X_i)
[/mm]
[mm] =sum_{i=1}^n E(a_i)*a
[/mm]
[mm] =a*sum_{i=1}^n E(a_i)
[/mm]
Ist das richtig gerechnet?
Heißt die Summe der Koeffizienten muss 1 ergeben, damit der Schätzer erwartungstreu ist, richtig?
Bedeutet [mm] E(a_i) [/mm] muss 1/n sein.
Bleibt Aufgabenteil b.
[mm] Var(T_n) [/mm] = [mm] E(T_n^2) [/mm] - [mm] E(T_n)^2 [/mm] = [mm] E(T_n^2) [/mm] - [mm] a^2
[/mm]
Also muss [mm] E(T_n^2) [/mm] möglichst genau [mm] a^2 [/mm] ergeben.
Das ausrechnen, das was rauskommt als 1/x Vorfaktor für [mm] a_i [/mm] verwenden. So ist die Varianz minimal.
Ist das der richtige Weg?
Weitere Überlegung: Durch den Vorfaktor beeinflusse ich doch auch [mm] E(T_n). [/mm] Dadurch ist es dann doch nicht minimal, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
> Koennte die Frage vielleicht beantworten, wenn ich sie verstehen wuerde.
Ich meinte dass ich den Kehrwert vom Ergebnis nehme und [mm] a_i [/mm] damit multipliziere. Wenn z.B. $ [mm] E(T_n^2) [/mm] = 3*a $ wäre hätte ich $ [mm] a_i_{neu} [/mm] = 1/3 * [mm] a_i [/mm] $ genommen. Aber ich fürchte, dass ich den Ansatz gleich wieder vergessen kann, weil das auch [mm] E(T_n) [/mm] beeinflussen würde und der Schätzer nicht mehr erwartungstreu wäre.
Also stehe ich bei Aufgabenteil b vermutlich wieder vor dem Nichts. Weiter fällt mir nichts ein, wie ich die Varianz sonst minimieren könnte, ohne dass der Schätzer die Erwartungstreue verliert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mi 24.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Also stehe ich bei Aufgabenteil b vermutlich wieder vor dem
> Nichts. Weiter fällt mir nichts ein, wie ich die Varianz
> sonst minimieren könnte, ohne dass der Schätzer die
> Erwartungstreue verliert.
Nana, nicht ganz. Berechne doch mal nach bewaehrtem Muster die Varianz:
[mm] $Var[T_n]=Var[\sum_{i=1}^na_iX_i]=\dots$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
[mm] Var(T_n) [/mm] = [mm] E(T_n^2) [/mm] - [mm] E(T_n)^2
[/mm]
$ = [mm] E(T_n^2) [/mm] - [mm] a^2 [/mm] $
$ = E( [mm] (sum_{i=1}^n a_i X_i )^2) [/mm] - [mm] a^2 [/mm] $
$ = E( [mm] (sum_{i=1}^n a_i X_i [/mm] ) * [mm] (sum_{j=1}^n a_j X_j [/mm] )) - [mm] a^2 [/mm] $
$ = [mm] E(sum_{j!=i=1}^n a_i X_i [/mm] + [mm] sum_{i=1}^n (a_i X_i ))^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] $
$ = [mm] E(sum_{j!=i=1}^n a_i X_i [/mm] ) + [mm] sum_{i=1}^n E((a_i X_i)^2) [/mm] - [mm] a^2 [/mm] $
("!=" soll ungleich bedeuten)
Weiter komme ich nicht. $ [mm] E((a_i X_i)^2) [/mm] $ bekomme ich nicht aufgelöst.
$ [mm] E((a_i X_i)^2) [/mm] = [mm] a_i^2 E((X_i)^2) [/mm] = ? $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 24.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Weiter komme ich nicht. [mm]E((a_i X_i)^2)[/mm] bekomme ich nicht
> aufgelöst.
> [mm]E((a_i X_i)^2) = a_i^2 E((X_i)^2) = ?[/mm]
*Ich* rechne so:
[mm] $Var[T_n]=Var[\sum a_iX_i]=\sum a_i^2Var[X_i]=b\sum a_i^2$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Peter4 |
Das sieht natürlich viel einfacher aus. :)
Heißt also damit die Varianz von [mm] T_n [/mm] minimal wird muss b minimal werden. Klingt logisch. Bleibt die Frage was man an den Koeffizienten nun genau "bestimmen" soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Das sieht natürlich viel einfacher aus. :)
>
> Heißt also damit die Varianz von [mm]T_n[/mm] minimal wird muss b
> minimal werden. Klingt logisch. Bleibt die Frage was man an
> den Koeffizienten nun genau "bestimmen" soll.
An $b_$ kannst du nicht drehen, das ist fest. Die Aufgabe lautet nun :
Minimiere [mm] $\sum a_i^2$ [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] $\sum a_i=1$.
[/mm]
vg Luis
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
