Bedingungen für Faktoren < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Bueggi |
| Aufgabe | | Gegeben sind drei Punkte A, B und C. Die Ortsvektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] dieser Punkte sind linear unabhängig. Geben Sie eine Bedingung für die Zahlen r, s und t an, damit der Punkt mit dem Ortsvektor [mm] r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] + [mm] t*\vec{c} [/mm] in der durch A, B und C festgelegten Ebene liegt. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht wirklich sicher, aber ist es nicht so, dass nur einer der drei Faktoren 1 sein muss, um den Stützvektor zu erhalten (je nachdem, welchen Vektor man als Stützvektor genommen hat, ändert sich der Faktor, der 1 ergeben muss) und die anderen beiden sind egal, da sie als Richtungsvektoren ja immer auf der Ebene liegen?
Gruss,
Christohper
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Hallo,
stell doch ersteinmal die Gleichung der Ebene durch A,B, C auf.
Danach sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 09.03.2008 | | Autor: | Bueggi |
Ah, jetzt erkenne ich meinen Fehler.
Die Ebenengleichung wäre dann (mit [mm] \vec{a} [/mm] als Stützvektor)
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] r*(\vec{a}-\vec{b}) [/mm] + [mm] t*(\vec{a}-\vec{c})
[/mm]
aber wirklich weiter komme ich damit gerade nicht...
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> Ah, jetzt erkenne ich meinen Fehler.
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> Die Ebenengleichung wäre dann (mit [mm]\vec{a}[/mm] als
> Stützvektor)
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> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]r*(\vec{a}-\vec{b})[/mm] + [mm]t*(\vec{a}-\vec{c})[/mm]
>
> aber wirklich weiter komme ich damit gerade nicht...
Hallo,
ich taufe die Parameter Deiner Ebenengleichung mal um:
E: [mm] \vec{x}=[/mm] [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\lambda*(\vec{a}-\vec{b})[/mm] + [mm]\mu*(\vec{a}-\vec{c})[/mm].
Wenn jetzt [mm] r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c} [/mm] in dieser Ebene liegt, so gibt es ja [mm] \lambda, \mu [/mm] mit
[mm] r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}=[/mm] [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\lambda*(\vec{a}-\vec{b})[/mm] + [mm]\mu*(\vec{a}-\vec{c})[/mm].
Dies mußt Du nun ausschlachten unter Beachtung der Voraussetzung, daß ja die [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 09.03.2008 | | Autor: | Bueggi |
Aber dann bekomme ich doch am Ende ein LGS mit 3 Gleichungen und 5 Variablen. Heisst das, dass ich 2 Parameter brauche oder habe ich wieder einen Fehler eingebaut?
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> Aber dann bekomme ich doch am Ende ein LGS mit 3
> Gleichungen und 5 Variablen. Heisst das, dass ich 2
> Parameter brauche oder habe ich wieder einen Fehler
> eingebaut?
Hallo,
nein, ich denke, daß Du alles richtig hast.
Du solltest jetzt das GS
r - 1 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu=0
[/mm]
s [mm] +\lambda=0
[/mm]
[mm] t+\mu [/mm] =0
vorliegen haben.
Wenn Du nun [mm] s=-\lambda [/mm] und [mm] t=-\mu [/mm] in die erste Gleichung einsetzt, bekommst Du
r - 1 +s+t=0 , also 1=r+s+t und hiermit die schönste Bedingung dafür, daß $ [mm] r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c} [/mm] $ in der durch ABC bestimmten Ebene liegt.
Gruß v. Angela
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