Bedingter Erwartungswert Beisp < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 Mi 19.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
zur Motivation des bedingten Erwartungswert gibt das Buch von L.C. Evans "An Introduction to Stochastic Differential Equations" folgendes Beispiel:
Sei [mm] (\Omega, \mathcal{U}, [/mm] P) ein Wkeit-Raum mit einfacher Zufallszahl [mm] Y=\sum_{i=1}^{m} a_i I_{A_i} [/mm] fuer Mengen [mm] A_{i} \subset \Omega [/mm] mit [mm] \Omega=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i} [/mm] und [mm] P(A_{i})>0, [/mm] und verschiedenen reellen [mm] a_{i}.
[/mm]
Wir haben also [mm] Y(\omega)=a_i [/mm] fuer [mm] \omega \in A_{i}.
[/mm]
Sei X eine weitere Zufallszahl auf [mm] \Omega.
[/mm]
Auf diesem Beispiel definieren wir den bedingten Erwartungswert von X gegeben Y als Zufallszahl
[mm] E(X|Y)(\omega)=\frac{1}{P(A_{i})} \integral_{A_{i}}^{}{X dP} [/mm] fuer [mm] \omega [/mm] in [mm] A_{i}.
[/mm]
Es soll leicht ersichtlich sein, dass fuer alle A [mm] \in \mathcal{U}(Y) [/mm] gilt [mm] (\mathcal{U}(Y) [/mm] ist die von Y generierte Sigma-Algebra):
[mm] \integral_{A}^{}{X dP}=\integral_{A}^{}{E(X|Y) dP}
[/mm]
Ich fange an:
Jede Menge [mm] A\subseteq \Omega [/mm] kann geschrieben werden als [mm] \bigcup_{i=1}^{m} [/mm] A [mm] \cap A_{i}, [/mm] sodass
[mm] \integral_{A}^{}{E(X|Y) dP} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{m} \integral_{A \cap A_{i}}^{}{E(X|Y) dP} [/mm] mit Eigenschaften des Lebesgue-Integrals.
= [mm] \sum_{i=1}^{m}\frac{1}{P(A_{i})} \integral_{A \cap A_{i}}^{}{ ( \integral_{A_{i}}^{}{X dP}) dP}.
[/mm]
Hier will ich Fubini-Tonelli benutzen und die Reihenfolge der Integrale vertauschen. Als Zufallszahl ist X per Definition eine messbare Funktion. Auch ist der Wkeit-Raum [mm] \sigma-finit [/mm] (die [mm] A_i [/mm] sind eine Partition von [mm] \Omega [/mm] und haben alle endliche Maße). Also darf ich den Satz verwenden und wir erhalten
[mm] \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{P(A_{i})} \integral_{A_{i}}^{}{(\integral_{A \cap A_{i}}^{}{X dP}) dP}
[/mm]
Das innere Integral gibt nun einen Wert [mm] c_{i}=\integral_{A \cap A_{i}}^{}{X dP}, [/mm] sodass
[mm] \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{P(A_{i})} \integral_{A_{i}}^{}{c_{i} dP}
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{P(A_{i})} c_{i} P(A_{i})
[/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^{m}c_{i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{m}\integral_{A \cap A_{i}}^{}{X dP}
[/mm]
= [mm] \integral_{A }^{}{X dP}.
[/mm]
Ist das so korrekt?
Ich zweifle, weil ich nirgendwo benutzt habe, dass [mm] A\in \mathcal{U}(Y)...
[/mm]
vG.
Jellal
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Hiho,
> Sei X eine weitere Zufallszahl auf [mm]\Omega.[/mm]
das reicht nicht. Es sollte $X [mm] \in L^1(\Omega)$ [/mm] gelten, sonst ist der bedingte EW nicht wohldefiniert. Mach dir das klar…
> Ich fange an:
> Jede Menge [mm]A\subseteq \Omega[/mm] kann geschrieben werden als
> [mm]\bigcup_{i=1}^{m}[/mm] A [mm]\cap A_{i},[/mm]
Das bezweifle ich.
Was ist, wenn $A [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] nicht meßbar ist?
Welche Mengen $A$ betrachten wir hier überhaupt?
> [mm]\integral_{A}^{}{E(X|Y) dP}[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{m} \integral_{A \cap A_{i}}^{}{E(X|Y) dP}[/mm]
Die Gleichung gilt nur, wenn die [mm] $A_i$ [/mm] paarweise disjunkt sind. Dies können wir aber oBdA annehmen. Warum?
edit: Mir fällt gerade auf, dass wir die paarweise Disjunktheit bereits bei der Definition benötigen, ansonsten ist bereits dein bedingter Erwartungswert nicht wohldefiniert (warum?).
> Hier will ich Fubini-Tonelli benutzen und die Reihenfolge
> der Integrale vertauschen. Als Zufallszahl ist X per
> Definition eine messbare Funktion.
Das reicht nicht aus. Nach Fubini-Tonelli muss |X| integrierbar sein bezüglich $dP dP$.
Warum gilt das (jetzt)?
> Ist das so korrekt?
> Ich zweifle, weil ich nirgendwo benutzt habe, dass [mm]A\in \mathcal{U}(Y)...[/mm]
Ja, siehe oben, was für Mengen A betrachten wir hier überhaupt?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Do 20.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
danke dir fuer die Antwort.
> Hiho,
>
> > Sei X eine weitere Zufallszahl auf [mm]\Omega.[/mm]
> das reicht nicht. Es sollte [mm]X \in L^1(\Omega)[/mm] gelten,
> sonst ist der bedingte EW nicht wohldefiniert. Mach dir das
> klar…
Das wurde im Buch leider nicht genannt.
Warum brauch ich das denn? In der tatsaechlichen Definition nach dem Beispiel wird es auch nicht vorausgesetzt:
" Let X and Y be random variables defined on the same probability space [mm] (\Omega, \mathcal{U}, [/mm] P). The conditional expectation of X given Y is any [mm] \mathcal{U}(Y) [/mm] measurable random variable Z such that
[mm] \integral_{A}^{}{XdP} [/mm] = [mm] \integral_{A}{}{ZdP} [/mm] for all [mm] A\in \mathcal{U}(Y). [/mm] "
edit: In anderen Definitionen, die ich online gefunden habe, scheint die Inegrierbarkeit oder zumindest die Endlichkeit des Erwartungswerts vorausgesetzt zu werden... wahrscheinlich wurde es im Buch nur vergessen. In dem Kapitel geht es um einen "Crash Kurs", und es wurde gesagt, dass ein paar technische Details unterschlagen werden...
Die Definition definiert Z ja ueber das Integral.
Was waere, wenn [mm] \integral_{A}{}{XdP} [/mm] unendlich waere?
> > Jede Menge [mm]A\subseteq \Omega[/mm] kann geschrieben werden
> als
> > [mm]\bigcup_{i=1}^{m}[/mm] A [mm]\cap A_{i},[/mm]
> Das bezweifle ich.
> Was ist, wenn [mm]A \subseteq \Omega[/mm] nicht meßbar ist?
> Welche Mengen [mm]A[/mm] betrachten wir hier überhaupt?
Stimmt, also A muss zumindest in [mm] \mathcal{U} [/mm] sein (das Maß ist ja eh nur auf [mm] \mathcal{U} [/mm] definiert). Gelten soll die Aussage fuer alle [mm] A\in \mathcal{U}(Y)\subseteq \mathcal{U}, [/mm] wobei mir nicht klar ist, ob es nicht auch fuer alle [mm] A\in \mathcal{U} [/mm] gilt.
> > [mm]\integral_{A}^{}{E(X|Y) dP}[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{m} \integral_{A \cap A_{i}}^{}{E(X|Y) dP}[/mm]
> Die Gleichung gilt nur, wenn die [mm]A_i[/mm] paarweise disjunkt
> sind. Dies können wir aber oBdA annehmen. Warum?
> edit: Mir fällt gerade auf, dass wir die paarweise
> Disjunktheit bereits bei der Definition benötigen,
> ansonsten ist bereits dein bedingter Erwartungswert nicht
> wohldefiniert (warum?).
Die paarweise Disjunktheit wurde vorausgesetzt, mein Fehler...
> > Hier will ich Fubini-Tonelli benutzen und die Reihenfolge
> > der Integrale vertauschen. Als Zufallszahl ist X per
> > Definition eine messbare Funktion.
> Das reicht nicht aus. Nach Fubini-Tonelli muss |X|
> integrierbar sein bezüglich [mm]dP dP[/mm].
> Warum gilt das
> (jetzt)?
Wenn man, wie du sagst, eh voraussetzen muss, dass X [mm] \in L^{1}(\Omega) [/mm] ist, dann folgt das doch sicher daraus... irgendwie.
Gibt es einen Satz, der besagt, dass wenn X integrierbar auf [mm] (\Omega, \mathcal{U}, [/mm] P) ist, dann ist es auch integrierbar auf [mm] (\Omega \times \Omega, \mathcal{U}\times \mathcal{U}, [/mm] P [mm] \times [/mm] P)?
Gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:51 Fr 21.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Frage oben immer noch offen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mo 24.04.2023 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hiho,
> Was waere, wenn [mm]\integral_{A}{}{XdP}[/mm] unendlich waere?
In dem Fall passiert erst mal gar nichts.
Man kann die bedingte Erwartung für $X [mm] \in L^1$ [/mm] oder für [mm] $X\ge [/mm] 0$ problemlos definieren (genau genommen sogar für die Fälle, wo [mm] $X^{-}$, [/mm] also der Negativteil von X, endlich integrierbar bleibt).
Problematisch wird es nur dann, wenn keiner der Fälle vorliegt, d.h. der Fall wo sowohl $E[X^+] = [mm] +\infty$ [/mm] als auch $E[X^-] = [mm] +\infty$ [/mm] gilt.
Dann gibt es (disjunkte) Mengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] mit [mm] $\int_{A_1} [/mm] X dP = [mm] +\infty, \int_{A_2} [/mm] X dP = [mm] -\infty$
[/mm]
Wie soll dann Z auf [mm] $A_1 \cup A_2$ [/mm] aussehen?
> > > Hier will ich Fubini-Tonelli benutzen und die Reihenfolge
> > > der Integrale vertauschen. Als Zufallszahl ist X per
> > > Definition eine messbare Funktion.
> > Das reicht nicht aus. Nach Fubini-Tonelli muss |X|
> > integrierbar sein bezüglich [mm]dP dP[/mm].
> > Warum gilt das
> > (jetzt)?
>
> Wenn man, wie du sagst, eh voraussetzen muss, dass X [mm]\in L^{1}(\Omega)[/mm]
> ist, dann folgt das doch sicher daraus... irgendwie.
> Gibt es einen Satz, der besagt, dass wenn X integrierbar
> auf [mm](\Omega, \mathcal{U},[/mm] P) ist, dann ist es auch
> integrierbar auf [mm](\Omega \times \Omega, \mathcal{U}\times \mathcal{U},[/mm]
> P [mm]\times[/mm] P)?
Das willst du ja gerade nicht benutzen. Fubini-Tonelli kommt ja gerade ohne die Integrierbarkeit auf dem Produktraum aus…
Mach dir klar, dass die zweifache Integration bezüglich dP nicht unbedingt das gleiche ist wie die Integration bezüglich [mm] $d(P\times [/mm] P)$.
Das gibt dir ja gerade erst Fubini(-Tonelli).
Daher: Was sind die Voraussetzungen für Fubini-Tonelli und wieso sind die hier erfüllt?
Voraussetzungen hinschreiben und nachdenken!
Gruß
Gono
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