Bedingte Verteilung, Dichte,EW < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Sei X eine [mm] N(a,\sigma^{2})-verteilte [/mm] Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion [mm] F_{a,\sigma^{2}}, [/mm] Dichte [mm] f_{a,\sigma^{2}} [/mm] und sei C:={X>0}. Berechnen Sie:
a) die bedingte Verteilungsfunktion [mm] F_{X|C} [/mm] von X unter C in Abhängigkeit der Verteilungsfunktion [mm] \Phi [/mm] einer N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen Z;
b) die bedingte Dichte [mm] f_{X|C} [/mm] von X unter C;
c) den bedingten Erwartungswert E(X|C) von X unter C. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ihr seht ich habe schon wieder ne Frage, liegt leider daran, dass das aktuelle Übungsblatt nicht einfach ist, haben schon lange davor gesessen und nur wenig geschaft.
So, hier die bisherigen Überlegungen:
zu a) nach Def.: [mm] F_{X|C}(x) [/mm] := [mm] P(X\le [/mm] x|C) ist bedingte VF von X unter C. Ich weiß auch, dass [mm] f_{a,\sigma^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\bruch{(x-a)^{2}}{2\sigma^{2}}} [/mm] die W-Dichte zur Normalverteilung ist. Muss ich da jetzt irgendwas mit der Zufallsvariablen Z = [mm] \bruch{X-a}{\sigma} [/mm] machen, z.B. nach X umformen und in die Def von [mm] F_{X|C} [/mm] einsetzen oder so?
b) nach Def.: [mm] f_{C} [/mm] := [mm] \integral_{a}^{b}{f_{X|C}(x) dx}, [/mm] nur da weiß ich nicht wie ich das konkret berechnen soll, bzw. was ich als Grenzen a,b einsetze?
c) nach Def.: E(X|C) := [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf_{X|C}(x) dx}, [/mm] hier ist es änhlich wie oben, ich weiß nicht, wie ich es konkret berechnen soll.
Könnt ihr mir Tipps geben, damit ich weiterkomme.
VIELEN DANK!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Sa 14.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Peon,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> So, hier die bisherigen Überlegungen:
>
> zu a) nach Def.: [mm]F_{X|C}(x)[/mm] := [mm]P(X\le[/mm] x|C) ist bedingte VF
> von X unter C.
Waehle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Dann ist
[mm] $F_{X|C}(x)= P(X\le [/mm] x|C) [mm] =P(X\le x\mid [/mm] X>0),$
also eine Wsk der Form [mm] P(A\mid [/mm] B). Klingelt's?
>
> b) nach Def.: [mm]f_{C}[/mm] := [mm]\integral_{a}^{b}{f_{X|C}(x) dx},[/mm]
> nur da weiß ich nicht wie ich das konkret berechnen soll,
> bzw. was ich als Grenzen a,b einsetze?
Leite das Ergebnis in a) nach $x_$ ab.
>
> c) nach Def.: E(X|C) :=
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{xf_{X|C}(x) dx},[/mm] hier ist es
> änhlich wie oben, ich weiß nicht, wie ich es konkret
> berechnen soll.
>
Schaun mer mal.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 15.11.2009 | | Autor: | Peon |
Hallo,
danke erstmal.
Habe jetzt erstmal ein Umformungsschritt gemacht, aber wie gehts dann weiter:
[mm] P(X\le [/mm] x|X>0) = [mm] \bruch{P(X\le x\cap X>0)}{P(X>x)} [/mm] ist das der richtige Weg, bzw. wie gehts dann weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 15.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> danke erstmal.
> Habe jetzt erstmal ein Umformungsschritt gemacht, aber wie
> gehts dann weiter:
> [mm]P(X\le[/mm] x|X>0) = [mm]\bruch{P(X\le x\cap X>0)}{P(X>x)}[/mm] ist das
> der richtige Weg,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bzw. wie gehts dann weiter?
Fallunterscheidung: [mm] $x\le [/mm] 0$ und $x>0$ ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 15.11.2009 | | Autor: | Peon |
OK ich denke mal für x<0 ist der Schnitt die leere Menge und somit die Wkt, 0.
Für [mm] x\ge0 [/mm] komme ich allerdings nicht weiter. Wie kann ich denn die Wkt weiter umrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 15.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> OK ich denke mal für x<0 ist der Schnitt die leere Menge
> und somit die Wkt, 0.
> Für [mm]x\ge0[/mm] komme ich allerdings nicht weiter. Wie kann ich
> denn die Wkt weiter umrechnen?
Im Zaehler und Nenner stehen Wsken in Abhaengigkeit von $X_$, beispielsweise
[mm] $P(X\le x,X>0)=P(0
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 15.11.2009 | | Autor: | Peon |
Gilt dann?:
[mm] \bruch{P(00)}=\bruch{P(X\le x)-P(X\le 0)}{P(X>0)}
[/mm]
Aber ich komme da nicht weiter, stehe auf dem Schlauch, bzw. mir ist nicht klar, was raus kommen soll und wie das mit [mm] f_{a,\sigma^{2}} [/mm] zusammenhängt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 15.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Gilt dann?:
>
> [mm]\bruch{P(00)}=\bruch{P(X\le x)-P(X\le 0)}{P(X>0)}[/mm]
>
> Aber ich komme da nicht weiter, stehe auf dem Schlauch,
> bzw. mir ist nicht klar, was raus kommen soll und wie das
> mit [mm]f_{a,\sigma^{2}}[/mm] zusammenhängt
Ich fuerchte, du musst noch einige (Hoch-)Schularbeiten zum Rechnen mit der Normalverteilung erledigen.
Im Internet wirst du mit Hilfen dazu erschlagen ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
Also ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe und bin bis jetzt auch noch zu nichts gekommen. Könnten wir an dem Punkt
$ [mm] \bruch{P(00)}=\bruch{P(X\le x)-P(X\le 0)}{P(X>0)} [/mm] $
nicht einfach für alle P die VF einsetzen? und eventuell dann zusammenfassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 So 15.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moiin SchwarzerKater,
>
> nicht einfach für alle P die VF einsetzen? und eventuell
> dann zusammenfassen?
Na klar, dann mal los!
vg Luis
|
|
|
|
