Bedingte Erwartung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $(\Omega, [/mm] A,P)$ ein Wraum und [mm] $G\subset [/mm] A$ eine Untersigmaalgebra. Es gelte $Y:=E(X|G)=const$ fast überall für alle [mm] $X\in L^1$. [/mm] Zeige, dass dann [mm] P(A)\in{0,1} [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] G$. |
Bermkung: Auch die Umkehrung von dem Satz gilt (das konnte ich zeigen).
Idee: Nach Definition gilt ja
[mm] $\int_B YdP=\int_B [/mm] XDP$ für alle [mm] $B\in [/mm] G$, also
$const [mm] \cdot P(B)=\int_G [/mm] X dP$ für alle [mm] $B\in [/mm] G$.
Hat jemand eine Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mi 03.12.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ich finde die Aufgabe irgendwie komisch. Hast du alle Vorraussetzungen hingeschrieben? In dem Thema steht triviale [mm] \sigma-Algebra, [/mm] ist [mm] \mathcal{G} [/mm] denn trivial?
Grüße, Steffen
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Ja, $G$ ist trivial oder anders ausgedrückt (so wie es in der Aufgabe steht), es gilt P(A)=1 oder 0 für alle [mm] $A\in [/mm] G$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 09.12.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
Naja, wenn du weißt, dass es sich um die triviale [mm] \sigma-Algebra [/mm] handelt, dann hast du doch deine Behauptung, denn [mm] P(\emptyset) [/mm] = 0 und [mm] P(\Omega) [/mm] = 1. Mich wundert die Aufgabe trotzdem, denn es gilt ja
const * [mm] P(\Omega) [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}^{} [/mm] X dP = E(X),
d.h. deine Konstante muss eigentlich der Erwartunsgwert sein, oder?
Grüße, Steffen
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Hoppla. Aber wir müssen ja gerade zeigen, dass $G$ trivial ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 04.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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