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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:53 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Estha |
Guten Tag alle zusammen!
Dies ist mein erster Beitrag hier im Forum, und dich hoffe, dass ich ihr mir helfen könnt!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das Thema ist die False Discovery Rate ( FRD ) und es geht sich um ein Lemma, bei dessen Beweisführung ich hauptsächlich Probleme habe, wenn es sich ums Arbeiten mit bedingte Erwartungswertn geht.
Ich werde nur den ersten Teil des Beweis posten, da er 1. insgesamt viel zu lang ist und 2. ich nur im 1. Abschnitt meine Schwierigkeiten habe.
Falls ich noch Extra-Infos posten soll, bitte bescheid geben , danke!
Vorab:
Betrachtet wir das Testproblem [mm] H_1, ... , H_n [/mm] mit dem dazugehörigen p - Werten [mm] P_1, ... , P_n [/mm]
Mit [mm] Q_n := \bruch{V_n }{ V_n + S_n } = \bruch{V_n}{R_n} [/mm] ist der Anteil der abgelehnten Hypothesen, die irrtümlich abgeleht wurden gemeint.
LEMMA:
Sei [mm] n \in \IN [/mm] so, dass genau k Nullhypothesen wahr und
[mm] \bar{k} = n - k [/mm] Nullhypothesen falsch sind.
Für jedes [mm] 0 \le k \le n [/mm] von unabhängigen p-Werten ( die zu den wahren Hypothesen gehören ) und für jede Realisierung, die die [mm] \bar{k} [/mm] p -Werte ( die zu den falschen Hypothese gehören ) annehmen können, erfüllt das lineare "step up" Verfahren von Benjamini & Hochberg die folgende Ungleichung
[mm] E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) \le \bruch{k}{n} \alpha [/mm]
Der Beweis folgt mit Hilfe der Induktion:
BEWEIS:
1. Induktionsanfang für n = 1 ist klar.
2. Induktionsannahme:
Für [mm] k \le n [/mm] gilt:
[mm] E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) \le \bruch{k}{n} \alpha [/mm]
3. Induktionsschluss :
Z.z. das Lemma gilt für jedes [mm] k \le n+1 [/mm]
Somit ist also zu zeigen, dass
[mm] E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) \le \bruch{k}{n+1} \alpha [/mm]
Fallunterscheidung:
1.Fall:
Sei k = 0, d.h alle Hypothesen sind falsch. Da somit [mm] V_n = 0 [/mm] ist
[mm] Q_n = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) = 0 \le \bruch{k}{n +1 } \alpha [/mm]
2. Fall :
Sei k > 0, d.h. mind. eine Hypothese ist wahr.
Bezeichne nun [mm] P'_i [/mm] für [mm] i = 1 , ... , k [/mm] die p - Werte des wahren Hypothesen, die unter der Hypothese gleichverteilt auf (0,1).
Bezeichne [mm] P'_{(k)} [/mm] den größten p-Wert, also [mm] P'_{(k)} := \max{(P'_1, ... , P'_k )} [/mm], mit der folgenden Verteilungsfunktion:
(*)[mm]
\begin{matrix}
F_{P'_{(k)}} )p) &=& P ( \max(P'_1, ... , P'_k ) \le p ) \\
\ &=& P ( P'_1 \le p, ... , P'_k \le p ) \\
\ &=& \left[ P ( P'_1 \le p ) \right]^k \\
\ &=& p^k 1_{(0,1)} (p) + 1_{[1, \infty) } (p)
\end{matrix}
[/mm]
1. Fragen :
Was ist das kleine p?
Womit kann man das 2. Gleichheitszeichen begründen?
Gilt das 3. Gleichheitszeichen wegen den Unabhängigkeit der p-Werte?
Warum betrachten wir jetzt in der 3. Zeile von (*) nur noch das [mm] P'_1 [/mm] ?
Bezeichne man nur mit [mm] p_1 \le ... \le p_{\bar{k}} [/mm] die geordneten Realisierungen der p -Werte der falschen Hypothesen.
Sei [mm] j_0 [/mm] die Anzahl der falschen Nullhypothesen, die nach dem Verfahren von Benjamini & Hochberg abgelehnt wurden.
Also [mm] sei [mm] j_0 [/mm] das größte j mit [mm] 0 \le j \e \bar{k} [/mm] für welches gilt:
[mm] p_j \le \bruch{k +j }{n + 1 } \alpha [/mm]
Bezeichne [mm] p'' := \bruch{k +j_0 }{n + 1 } \alpha [/mm] den kritischen Wert des Verfahrens.
Unter der Bedingung, dass [mm] P'_{(k)} = p [/mm] gilt:
[mm] E ( Q_n | P_{k+1} = p_1 , ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) [/mm]
(**) [mm] = \integral_{0}^1 E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp [/mm]
(***)[mm] = \integral_{0}^{p''} E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp + \integral_{p''}^1 E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp [/mm]
2. Fragen :
Ich verstehe leider dieGültigkeit des 1. Gleichheitszeichen (**) nicht :-( ..
Irgendwie seh ich nicht die Gleichheit, obwohl mir klar ist, dass wir über (0,1) integrieren wegen der Gleichverteilung mit der zugehörigen Dichte ..
Jetzt betrachte das erste Intergral aus (***).
Hier ist [mm] p \le p'' [/mm] , da sonst das Integral Null wäre.
Daher werden alle [mm] k + j_0 [/mm] Hypothesen nach dem Verfahren abgelehnt und somit ist dann [mm] Q_n \equiv \bruch{k}{k + j_0 } [/mm].
Dann folgt:
[mm] \integral_{0}^{p''} E ( Q_n | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) f_{P'_{(k)}} (p) dp [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{p''} E (\bruch{k}{k + j_0 } | P'_{(k)} = p , P_{k+1} = p_1 ... , P_n = p_{ \bar{k} } ) k p^{(k-1)} dp [/mm]
(****) [mm] = \integral_0^{p''} \bruch{k}{k + j_0 } k p^{(k-1)} dp [/mm]
[mm] = \bruch{k}{k + j_0 } (p'')^k [/mm]
[mm] \bruch{k}{n+1} \alpha (p'')^{(k-1)} [/mm]
3. Frage:
Warum gilt (**** )? Nach welcher Eigenschaft / Regel des bed. E-Wertes folgt diese Umformungß
....... ( den Rest dieses sehr langen Beweises kann ich rcht gut nachvollziehen.)
Ich hoffe, dass mir jemand ei diesen formalen Unklarheiten helfen kann!?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Estha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 20.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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