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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Di 14.06.2011 | | Autor: | Autist |
Meine Verständnisfrage ist folgende:
Angenommen ich habe ein endlich-dimensionalen K-Vektorraum V und zwei geordnete Basen C und B von V.
Ich bezeichne die Basiswechselmatrix von der Basis C in die Basis B mal mit S. D.h. ich nehme mir das k'te Basiselement aus C und will dieses dann als Linearkombination von Basiselementen von B darstellen. Die k'te Spalte von S gibt dann die Körperelemente wieder, mit der das ganze linear kombiniert wurde.
Meine Frage ist, worin genau ist in S nun meine Basis C codiert? D.h., angenommen ich wüsste S. Wie bekomme ich mein C wieder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Meine Verständnisfrage ist folgende:
> Angenommen ich habe ein endlich-dimensionalen K-Vektorraum
> V und zwei geordnete Basen C und B von V.
> Ich bezeichne die Basiswechselmatrix von der Basis C in
> die Basis B mal mit S. D.h. ich nehme mir das k'te
> Basiselement aus C und will dieses dann als
> Linearkombination von Basiselementen von B darstellen. Die
> k'te Spalte von S gibt dann die Körperelemente wieder, mit
> der das ganze linear kombiniert wurde.
>
> Meine Frage ist, worin genau ist in S nun meine Basis C
> codiert? D.h., angenommen ich wüsste S. Wie bekomme ich
> mein C wieder?
Hallo,
ich hoffe, daß ich Deine Frage richtig verstehe.
Die Basis C als solche ist gar nicht codiert.
Die Matrix S "speichert" lediglich " das Verhältnis von C und B".
Die Matrix S macht Dir ja aus Vektoren bzgl C solche bzgl B.
Diese Matrix S macht aber genauso für irgendwelche anderen passenden Basen D und E den Übergang von E nach D.
Der Matrix S allein kannst Du keine der Basen B oder C entnehmen.
Hast Du allerdings B, dann kennst Du C. Und umgekehrt.
Beispiel:
[mm] B:=(\vektor{1\\2}, \vektor{3\\4}),
[/mm]
[mm] C:=(\vektor{4\\6}, \vektor{5\\6}),
[/mm]
[mm] D:=(\vektor{3\\1}, \vektor{-5\\2}),
[/mm]
[mm] E:=(\vektor{-2\\3}, \vektor{-13\\3}).
[/mm]
Die Matrix [mm] S=\pmat{1&-1 \\1& 2 } [/mm] beschreibt sowohl den Übergang von C nach B als auch den von E nach D.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Autist |
Danke Angela! Ja, das hast du schon richtig interpretiert!
Also ich brauche um C zu erhalten S und B; und um B zu erhalten S und C?
Im Fall 1 kann ich dann den k'ten Basisvektor von C erhalten, indem ich [mm] c_{k}=\summe_{i=1}^{2}s_{i,k}*b_{i}
[/mm]
linear kombiniere, wobei [mm] S=(s_{i,j})=\pmat{1&-1 \\1& 2 }
[/mm]
Zum 2. Fall:
Man könnte theoretisch ein Gleichungssystem aufstellen:
[mm] 1*b_{1} [/mm] + [mm] 1*b_{2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 6}
[/mm]
[mm] -1*b_{1} [/mm] + [mm] 2*b_{2} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 6}
[/mm]
Wenn man das ganze dann in erste und zweite Koordinaten aufbricht erhält man ein lösbares LGS:
[mm] 1*b_{1,1} [/mm] + [mm] 1*b_{1,2} [/mm] = 4
[mm] -1*b_{1,1} [/mm] + [mm] 2*b_{1,2} [/mm] = 5
[mm] 1*b_{2,1} [/mm] + [mm] 1*b_{2,2} [/mm] = 6
[mm] -1*b_{2,1} [/mm] + [mm] 2*b_{2,2} [/mm] = 6
wobei [mm] b_{i,j} [/mm] die i'te Koordinate des j'ten Basisvektor [mm] b_{j} [/mm] beschreibt.
Da links oben und unten alles identisch ist, kann man zusammenfassen und Gauß anwenden:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 4 & 6 \\ -1 & 2 & 5 & 6 } [/mm] ~> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_{1,1}=1 [/mm] ^ [mm] b_{1,2}=3 [/mm] ^ [mm] b_{2,1}=2 [/mm] ^ [mm] b_{2,2}=4
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_{1}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] ^ [mm] b_{2}=\vektor{3 \\ 4}
[/mm]
Damit hätten wir wieder unsere Basis B.
Gibt es da eigentlich kein fixeres Verfahren im zweiten Fall?
Man möchte ja anfangs meinen, dass die Basiswechselmatrix genau das tut, was ihr Name auch sagt. Indem ich C und B einfach mal als Matrizen auffasse und dann mit Matrixprodukt S*C=B herausbekomme (Basis von C in Basis von B gewechselt), aber das klappt hier nicht.
LG
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> Danke Angela! Ja, das hast du schon richtig interpretiert!
> Also ich brauche um C zu erhalten S und B; und um B zu
> erhalten S und C?
>
> Im Fall 1 kann ich dann den k'ten Basisvektor von C
> erhalten, indem ich [mm]c_{k}=\summe_{i=1}^{2}s_{i,k}*b_{i}[/mm]
> linear kombiniere, wobei [mm]S=(s_{i,j})=\pmat{1&-1 \\
1& 2 }[/mm]
>
> Zum 2. Fall:
> Man könnte theoretisch ein Gleichungssystem aufstellen:
>
> [mm]1*b_{1}[/mm] + [mm]1*b_{2}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\
6}[/mm]
>
> [mm]-1*b_{1}[/mm] + [mm]2*b_{2}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\
6}[/mm]
>
> Wenn man das ganze dann in erste und zweite Koordinaten
> aufbricht erhält man ein lösbares LGS:
>
> [mm]1*b_{1,1}[/mm] + [mm]1*b_{1,2}[/mm] = 4
> [mm]-1*b_{1,1}[/mm] + [mm]2*b_{1,2}[/mm] = 5
>
> [mm]1*b_{2,1}[/mm] + [mm]1*b_{2,2}[/mm] = 6
> [mm]-1*b_{2,1}[/mm] + [mm]2*b_{2,2}[/mm] = 6
>
> wobei [mm]b_{i,j}[/mm] die i'te Koordinate des j'ten Basisvektor
> [mm]b_{j}[/mm] beschreibt.
>
> Da links oben und unten alles identisch ist, kann man
> zusammenfassen und Gauß anwenden:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 4 & 6 \\
-1 & 2 & 5 & 6 }[/mm] ~> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 4 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_{1,1}=1[/mm] ^ [mm]b_{1,2}=3[/mm] ^ [mm]b_{2,1}=2[/mm] ^ [mm]b_{2,2}=4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_{1}=\vektor{1 \\
2}[/mm] ^ [mm]b_{2}=\vektor{3 \\
4}[/mm]
>
> Damit hätten wir wieder unsere Basis B.
>
> Gibt es da eigentlich kein fixeres Verfahren im zweiten
> Fall?
>
> Man möchte ja anfangs meinen, dass die Basiswechselmatrix
> genau das tut, was ihr Name auch sagt. Indem ich C und B
> einfach mal als Matrizen auffasse und dann mit
> Matrixprodukt S*C=B herausbekomme (Basis von C in Basis von
> B gewechselt), aber das klappt hier nicht.
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du möglicherweise (zeitweilig) mißverstehst, was die Basiswechselmatrix S, in "meiner" Schreibweise suggestiver als [mm] _BM(id)_C [/mm] geschrieben, tut:
keinesfalls wandelt sie die Basis C in die Basis B um!
Sondern: einen jeglichen Koordinatenvektor bzgl. C, mit welchem man sie füttert, läßt sie unverändert, sie liefert ihn lediglich in Koordinaten bzgl. B.
Wir hatten zuvor als Beispiel den [mm] \IR^2 [/mm] mit den Basen
$ [mm] B:=(b_1:=\vektor{1\\2}, b_2:=\vektor{3\\4}), [/mm] $
$ [mm] C:=(c_1:=\vektor{4\\6}, c_2:=\vektor{5\\6}) [/mm] $
und der bereits berechneten Basiswechselmatrix $ [mm] (_BM(id)_C) =S=\pmat{1&-1 \\1& 2 } [/mm] $.
Diese Matrix wandelt Koordinatenvektoren, die bzgl C gegeben sind, in solche bzgl B um.
Wir schauen uns das mal an.
Wir nehmen den Vektor [mm] v:=\vektor{140\\180}.
[/mm]
In Koordinaten bzgl C geschrieben haben wir [mm] v=\vektor{10\\20}_{(C)}.
[/mm]
Es ist [mm] \pmat{1&-1 \\1& 2 }*\vektor{10\\20}=\vektor{-10\\50}.
[/mm]
Das sagt uns: es ist [mm] v=\vektor{10\\20}_{(C)}=\vektor{-10\\50}_{(B)}.
[/mm]
Jetzt wird's spannend, wir gucken nämlich nach, ob es stimmt:
[mm] \vektor{-10\\50}_{(B)}=-10*b_1+50b_2=-10*\vektor{1\\2}+50*\vektor{3\\4}
[/mm]
[mm] =\vektor{140\\180}. [/mm] Stimmt!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Autist |
Danke Angela, sehr schön erklärt!
So macht das ganze auch irgendwie mehr Sinn.
LG
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