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Hallo,
ich versuche gerade die Äquivalenz von zwei Vorstellungen über die Basiswechselmatrix zu beweisen.
Die erste ist, dass sie Vektoren bezüglich einer Basis B in Vektoren bezüglich einer Basis C überführt: [mm] \pmat{b^1 & b^2} \vektor{x \\ y}= \pmat{c^1 & c^2} \vektor{x' \\ y'}. [/mm] Daraus folgt [mm] T^C_B=\pmat{b^1 & b^2}^{-1}\pmat{c^1 & c^2}.
[/mm]
Die zweite Vorstellung ist, dass in den Spalten von [mm] T^C_B [/mm] die Koeffizienten der Darstellung der Basisvektoren von C als Linearkombination der Basisvektoren von B stehen. Sei [mm] T=\pmat{t^j_i}_{ij} [/mm] Nun müsste gelten: [mm] c^1=t^1_1*b^1+t^1_2*b^2 [/mm] und [mm] c^2=t^2_1*b^1+t^2_2*b^2.
[/mm]
Leider kann ich diese beiden Vorstellungen nicht in Einklang bringen. Kann mir jemand verdeutlichen, dass beide äquivalent sind?
Viele Grüße, MP
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Hallo,
Du hast zwei Basen C und B und suchst die Matrix [mm] T^C_B, [/mm] welche Dir die Vektoren, die Du in Koordinaten bzgl. C vorliegen hast, in Koordinaten bzgl. B umwandelt.
In den Spalten dieser Matrix stehen die Koeffizienten, die man erhält, wenn man die Basisvektoren von C also Linearkombination der Basisvektoren von B schreibt.
Ich will Dir an einem Beispiel zeigen, wie diese Matrix Koordinaten bzgl. C in solche bzgl- B umwandelt:
Sei
[mm] C:=(c_1, c_2, c_3)
[/mm]
[mm] B:=(b_1, b_2, b_3),
[/mm]
und sei etwa
[mm] c_1=1*b_1+2* b_2+3* b_3
[/mm]
[mm] c_2=4*b_1+5* b_2+6* b_3
[/mm]
[mm] c_3=7*b_1+8* b_2+7* b_3
[/mm]
Die Basiswechselmatrix [mm] T^C_B [/mm] ist
[mm] T^C_B=\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &7}.
[/mm]
Nun schauen wir uns an, wie ein Vektor, der in Koordinaten bzgl C gegeben ist, in solche bzgl. B umgewandelt wird.
Betrachten wir [mm] v:=\pmat{ 10 \\ 20\\30 }_C [/mm] (= [mm] 10*c_1+20*c_2+30* c_3).
[/mm]
Es ist [mm] \pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &7}\pmat{ 10 \\20\\30 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &7}(10\pmat{ 1 \\ 0\\0 }+20\pmat{ 0 \\ 1\\0 }+30\pmat{ 0 \\ 0\\1 })
[/mm]
[mm] =10\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &7}\pmat{ 1 \\ 0\\0 }+20\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &7}\pmat{ 0 \\ 1\\0 }+30\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &7}\pmat{ 0 \\ 0\\1 }
[/mm]
[mm] =10\pmat{ 1 \\ 2\\3 }+ 20\pmat{ 4 \\ 5\\6 }+ 30\pmat{ 7 \\ 8\\7 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 300 \\ 360\\360 }_B
[/mm]
Das sagt uns: [mm] v:=\pmat{ 10 \\ 20\\30 }_C=\pmat{ 300 \\ 360\\360 }_B (=300b_1+360b_2+360b_3)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo angela,
für mich passen die Linearkombinationen und die Basiswechselmatrix nicht zusammen.
>[mm]c_1=1*b_1+2* b_2+3* b_3[/mm]
>[mm]c_2=4*b_1+5* b_2+6* b_3[/mm]
>[mm]c_3=7*b_1+8* b_2+7* b_3[/mm]
Wegen [mm] c_1=1*b_1+2* b_2+3* b_3 [/mm] ist der Beitrag der ersten Komponente 10 m. E. [mm] 10*b_1+20*b_2+30*b_3.
[/mm]
Deshalb müsste die Basiswechselmatrix meiner Meinung nach vielmehr die folgende sein: [mm] T^C_B=\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &9}.
[/mm]
Dann steht [mm] T^C_B*\vektor{10\\20\\30}=10*\vektor{1\\2\\3}+20*\vektor{4\\5\\6}+30*\vektor{7\\8\\9} [/mm] = [mm] 10*(1*b_1+2*b_2+3*b_3)+20*(4*b_1+5*b_2+6*b_3)+30*(7*b_1+8*b_2+9*b_3) [/mm] im Einklang mit den Linearkombinationen.
Ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Stimmt meine Überlegung?
Viele Grüße, MP
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> Hallo angela,
>
> für mich passen die Linearkombinationen und die
> Basiswechselmatrix nicht zusammen.
[...]
> Deshalb müsste die Basiswechselmatrix meiner Meinung nach
> vielmehr die folgende sein: [mm]T^C_B=\pmat{ 1 & 4&7 \\ 2 & 5 &8\\ 3 & 6 &9}.[/mm]
Ach Du grüne Neune!
Irgendwie war ich dem Formeleditor gestern nicht gewachsen...
Natürlich hast Du recht. (Jedenfalls fast: rechts unten muß eine 7 stehen, und daß ich das so gemacht habe, hat einen Grund: sonst wär's keine Basiswechselmatrix.)
Ich glaube, Du hast es jetzt verstanden.
Gruß v. Angela
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