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| Aufgabe | d) Die Abbildung ψ hat bezüglich der Basis A die Matrixdarstellung [mm] C_A [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] Bestimmen
Sie die Darstellung der Abbildung ψ bezüglich der Basis B, beschreiben Sie in einem kurzen
Text die Abbildung mit geometrischen Begriffen und kontruieren Sie zeichnerisch das Bild
von [mm] [h]_A [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] in der obigen Skizze.
Berechnen Sie auch mit der Matrix, wohin der Vektor
h abgebildet wird, welche Koordinate das Bild von h bezüglich der Basen A und B hat.
e) Sei φ eine Abbildung in der Ebene [mm] R^2. [/mm] Das Bild eines Vektors x sei der Schnittpunkt der Gerade durch den Nullpunkt mit Richtungsvektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}_B [/mm] und der Gerade durch x mit
dem Richtungsvektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}_B [/mm] Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich B, indem Sie
zunächst die Matrix bezüglich einer günstigen Basis bestimmen.
Matrix A und B sind aus den anderen Aufgabenteilen heraus bekannt und lauten A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/mm] B = [mm] \bruch{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich sitze grade vor meinem Skript und dieser Aufgabe und bin ein wenig verloren.
Zu d) die Matrix [mm] C_A [/mm] projeziert, wenn ich es richtig verstanden hab die Vektoren, die Teil des Vektorraums der Matrix A sind auf die x Achse.
In der Lösung steht folgende Erklärung :
"Alle Vielfachen des ersten Basisvektors [mm] f_1 [/mm] werden durch die Abbildung ψ auf sich selbst abgebildet und alle Vielfachen des zweiten Basisvektors [mm] f_2 [/mm] werden auf den Ursprung abgebildet. Anschaulich gesprochen handelt es sich um eine Projektion auf die Gerade mit Richtungsvektor [mm] f_1 [/mm] entlang der Projektionsrichtung [mm] f_2. [/mm] Um die Abbildung also grafischdurchzuführen, muss von jedem Punkt aus solange in Richtung f2 gegangen werden, bis die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtung des Vektors f1 durchstoßen wird, der Schnittpunkt ist das gesuchte Bild der Abbildung."
Hier Verstehe ich nicht was mit Projektionsrichtung gemeint ist und warum das hier eine Rolle spielen sollte, wenn [mm] f_2 [/mm] doch immer 0 sein muss?
Weiter ist mir auch nicht ganz klar wie man auf den Ansatz zur Umrechnung von [mm] C_A [/mm] nach [mm] C_B [/mm] kommt.
zu e) bei dieser Aufgabe liegt mir die Lösung vor ich verstehe sie aber nicht, was vermutlich auch daran liegt, dass ich die Frage im Kern nicht verstehe.
Für Tipps zum Verständnis würd ich mich sehr freuen.
Gut wäre auch, falls mir jemand vlt ein paar Adressen im Netz nennen könnte, da ich mit dem Skript hier leider nicht weiterkomme.
Mfg
Moffeltoff
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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> d) Die Abbildung ψ hat bezüglich der Basis A die
> Matrixdarstellung [mm]C_A[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> Bestimmen
> Sie die Darstellung der Abbildung ψ bezüglich der Basis
> B, beschreiben Sie in einem kurzen
> Text die Abbildung mit geometrischen Begriffen und
> kontruieren Sie zeichnerisch das Bild
> von [mm][h]_A[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\
3 \end{pmatrix}[/mm] in der
> obigen Skizze.
> Berechnen Sie auch mit der Matrix, wohin der Vektor
> h abgebildet wird, welche Koordinate das Bild von h
> bezüglich der Basen A und B hat.
Hallo,
es ist die Basis [mm] A=(f_1:=\vektor{1\\1}, f_2:=\vektor{2\\1}).
[/mm]
[mm] $C_A$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm] ist die darstellende Matrix von ψ bzgl. A.
Das bedeutet: [mm] \Psi(f_1)=\vektor{1\\0}_{(A)}=1*f_1+0*f_2=f_1, \qquad \Psi(f_2)=\vektor{0\\0}_{(A)}=0*f_1+0*f_2=0,
[/mm]
also ist [mm] \Psi(\vektor{a\\b}{(A)})=ψ(a*f_1+b*f_2)=af_1=\vektor{a\\0}_{(A)}.
[/mm]
Es werden die Vielfachen von [mm] f_1 [/mm] auf sich selbst abgebildet, die Vektoren, die in Richtung [mm] f_2 [/mm] sind, auf den Nullvektor.
> Zu d) die Matrix [mm]C_A[/mm] projeziert, wenn ich es richtig
> verstanden hab die Vektoren, die Teil des Vektorraums der
> Matrix A sind auf die x Achse.
Was meinst Du mit "die Vektoren, die Teil des Vektorraums der Matrix A sind"?
Es geht in der Aufgabe um den VR [mm] \IR^2, [/mm] und gearbeitet wird mit der Basis A, welche aus den beiden oben angegebenen Vektoren besteht.
Die erste Spalte von [mm] C_A [/mm] sagt uns, daß der erste Basisvektor von A auf sich selbst abgebildet wird, die zweite Spalte sagt, daß der zweite Basisvektor auf den Nullvektor abgebildet wird.
> In der Lösung steht folgende Erklärung :
>
> "Alle Vielfachen des ersten Basisvektors [mm]f_1[/mm] werden durch
> die Abbildung ψ auf sich selbst abgebildet und alle
> Vielfachen des zweiten Basisvektors [mm]f_2[/mm] werden auf den
> Ursprung abgebildet. Anschaulich gesprochen handelt es sich
> um eine Projektion auf die Gerade mit Richtungsvektor [mm]f_1[/mm]
> entlang der Projektionsrichtung [mm]f_2.[/mm] Um die Abbildung also
> grafischdurchzuführen, muss von jedem Punkt aus solange
> in Richtung f2 gegangen werden, bis die Gerade durch den
> Nullpunkt mit Richtung des Vektors f1 durchstoßen wird,
> der Schnittpunkt ist das gesuchte Bild der Abbildung."
>
> Hier Verstehe ich nicht was mit Projektionsrichtung gemeint
> ist und warum das hier eine Rolle spielen sollte, wenn [mm]f_2[/mm]
> doch immer 0 sein muss?
[mm] f_2 [/mm] ist nicht 0, sondern es wird alles, was in Richtung [mm] f_2 [/mm] ist, auf die Null abgebildet.
Anschaulich:
Du hast einen Vektor f und möchtest nun wissen, was [mm] \Psi(f) [/mm] ist.
Dazu schreibst/zeichnest Du f als Linearkombination der Basisvektoren von A, also [mm] f=rf_1+sf_2, [/mm] und weißt aufgrund der vorhergegangenen Überlegungen: [mm] ψ(f)=rf_1.
[/mm]
> Weiter ist mir auch nicht ganz klar wie man auf den Ansatz
> zur Umrechnung von [mm]C_A[/mm] nach [mm]C_B[/mm] kommt.
Es ist [mm] B=(v_1:=\bruch{1}{3}\vektor{1\\1}, v_2:=\bruch{1}{3}\vektor{2\\-1}).
[/mm]
Überlege Dir, was [mm] \Psi(v_1) [/mm] ist und schreibe das Ergebnis als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] für [mm] \Psi(v_2) [/mm] ebenso.
Die andere Teilaufgabe würde ich gern zurückstellen, bis diese Baustelle aufgeräumt ist.
Gruß v. Angela
> e) Sei φ eine Abbildung in der Ebene [mm]R^2.[/mm] Das Bild eines
> Vektors x sei der Schnittpunkt der Gerade durch den
> Nullpunkt mit Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
-1 \end{pmatrix}_B[/mm]
> und der Gerade durch x mit
> dem Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
2 \end{pmatrix}_B[/mm]
> Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich B, indem Sie
> zunächst die Matrix bezüglich einer günstigen Basis
> bestimmen.
>
> Matrix A und B sind aus den anderen Aufgabenteilen heraus
> bekannt und lauten A = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\
1 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
> B = [mm]\bruch{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\
1 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> zu e) bei dieser Aufgabe liegt mir die Lösung vor ich
> verstehe sie aber nicht, was vermutlich auch daran liegt,
> dass ich die Frage im Kern nicht verstehe.
> Für Tipps zum Verständnis würd ich mich sehr freuen.
> Gut wäre auch, falls mir jemand vlt ein paar Adressen im
> Netz nennen könnte, da ich mit dem Skript hier leider
> nicht weiterkomme.
>
> Mfg
>
> Moffeltoff
>
> (Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das mit der Projektion schon ganz verstanden habe, aber nachdem ich mir die Aufgabe nochmal angesehen habe und das Skript noch einmal durchgearbeitet hab ist mir zumindest die Umrechnung von [mm] C_A [/mm] nach [mm] C_B [/mm] klar. Danke für die Hilfe dafür schonmal.
Zur Projektion:
Wenn die Matrix C bezüglich der Basis A ist, dann erscheinen die Basisvektoren [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] doch für die Matrix C als [mm] f_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] f_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] oder?
So wie ich es mir jetzt erklärt habe ist die lineare Abbildung ψ eine Projektion auf die Gerade durch 0 mit dem Richtungsvektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}_B.
[/mm]
Immernoch unklar ist mir die Beschreibung aus meiner Lösung vor allem was die Projektionsrichtung sein soll.
Wenn ich einen Vektor [mm] f_A [/mm] mit der Matrix [mm] C_A [/mm] multipliziere, dann bilde ich doch nur seine [mm] x_1 [/mm] Komponente auf die Gerade mit [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}_A [/mm] ab also bewege ich mich doch senkrecht auf diese gerade zu oder?
Mir ist aufgefallen, dass ich die Falschen Basen angegeben habe richtig ist A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} [/mm] und B = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
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> Zur Projektion:
> Wenn die Matrix C bezüglich der Basis A ist, dann
> erscheinen die Basisvektoren [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] doch für die
> Matrix C als [mm]f_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]f_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm] oder?
Hallo,
wir haben die Basis [mm] A=(f_1, f_2).
[/mm]
Dann ist [mm] f_1=\vektor{1\\0}_{(A)}, f_2=\vektor{0\\1}_{(A)}.
[/mm]
>
> So wie ich es mir jetzt erklärt habe ist die lineare
> Abbildung ψ eine Projektion auf die Gerade durch 0 mit dem
> Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
2 \end{pmatrix}_B.[/mm]
Wenn wir jetzt Deine neue Basis A nehmen, dann stimmt das.
>
> Immernoch unklar ist mir die Beschreibung aus meiner
> Lösung vor allem was die Projektionsrichtung sein soll.
Bei "Projektion" fällt mir sofort mein Diaprojektor ein.
Die Leinwand ist der (Unter)Raum, auf welchen projiziert wird, die Richtung des Lichtstrahls ist die Projektionsrichtung.
Aus gewissen Gründen stellt man den Diaprojektor i.d.R. so auf, daß der Strahl senkrecht auf die Leinwand trifft - aber andere Richtungen wären ebenfalls denkbar.
[mm] f_2 [/mm] ist in Deiner Projektion die Richtung des Lichtstrahls.
> Wenn ich einen Vektor [mm]f_A[/mm] mit der Matrix [mm]C_A[/mm]
> multipliziere, dann bilde ich doch nur seine [mm]x_1[/mm] Komponente
> auf die Gerade mit [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
0 \end{pmatrix}_A[/mm]
> ab also bewege ich mich doch senkrecht auf diese gerade zu
> oder?
Wir wollen den Vektor [mm] \vektor{3\\4}_{(A)} [/mm] projizieren.
Es ist [mm] \psi(\vektor{3\\4}_{(A)})=\pmat{1&0\\0&0}*\vektor{3\\4}=\vektor{3\\0}_{(A)}.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Mir ist aufgefallen, dass ich die Falschen Basen angegeben
> habe richtig ist A = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 \\
2 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
> und B = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> Bei "Projektion" fällt mir sofort mein Diaprojektor ein.
> Die Leinwand ist der (Unter)Raum, auf welchen projiziert
> wird, die Richtung des Lichtstrahls ist die
> Projektionsrichtung.
> Aus gewissen Gründen stellt man den Diaprojektor i.d.R.
> so auf, daß der Strahl senkrecht auf die Leinwand trifft -
> aber andere Richtungen wären ebenfalls denkbar.
> [mm]f_2[/mm] ist in Deiner Projektion die Richtung des
> Lichtstrahls.
Also ist hier [mm] f_2 [/mm] die Projektionsrichtung, da es genau die Richtung beschreibt, mit der ich mich senkrecht zur [mm] f_1 [/mm] Achse bewege, um den Vektor auf eben jene Achse abzubilden oder hab ich das immernochnicht verstanden?
Und schonmal vielen Dank angela ich glaub ich trete ganz langsam ins Licht =D
Jetzt habe ich zu e) noch ein paar Fragen.
Im Prinzip ist es doch das Gleiche wie bei Aufgabenteil d) die lineare Abbildung Projeziert alle Vektoren aus [mm] R^2 [/mm] auf die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtungsvektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}_B [/mm] und hierbei ist die Projektionsrichtung [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}_B [/mm] .
Also ist eine günstige Basis hierfür A, denn dann würde die Abbildung jedes Vielfache des Basisvektors f_2A auf sich selbst projezieren und jedes Vielfache des Basisvektors f_1A auf den Ursprung.
Der Schritt bei dem es bei mir noch hakt ist wie kann ich die Abbildung berechnen?
Mfg
moffeltoff
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> Jetzt habe ich zu e) noch ein paar Fragen.
>
> Im Prinzip ist es doch das Gleiche wie bei Aufgabenteil d)
Hallo,
ja.
> die lineare Abbildung Projeziert alle Vektoren aus [mm]R^2[/mm] auf
> die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtungsvektor
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
-1 \end{pmatrix}_B[/mm] und hierbei ist die
> Projektionsrichtung [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
2 \end{pmatrix}_B[/mm]
Genau.
> .
> Also ist eine günstige Basis hierfür A,
Ja.
> denn dann würde
> die Abbildung jedes Vielfache des Basisvektors f_2A auf
> sich selbst projezieren und jedes Vielfache des
> Basisvektors f_1A auf den Ursprung.
Ja.
Zum Aufstellen der Darstellungsmatrix bzgl A benötigst Du [mm] \Psi(f_1) [/mm] und [mm] \Psi(f_2).
[/mm]
Es ist [mm] \Psi(f_1)=0=\vektor{0\\0}_{(A)} [/mm] und [mm] \Psi(f_2)=f_2=\vektor{0\\1}_{(A)},
[/mm]
und damit kannst Du die Darstellungsmatrix bzgl. A hinschreiben.
Für die Darstellungsmatrix bzgl B arbeitest Du entweder mit den Transformationsmatrizen, oder Du erfindest das Rad selbst:
schreibe die beiden Standardbasisvektoren als Linearkombination von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2, [/mm] ermittle dann ihr Bild und schreibe es in in Standardkoordinaten.
Damit kennst Du dann die beiden Spalten der gesuchten Matrix.
Gruß v. Angela
> Der Schritt bei dem es bei mir noch hakt ist wie kann ich
> die Abbildung berechnen?
>
> Mfg
>
> moffeltoff
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Mag jetzt vlt eine doofe Frage sein, aber muss ich die Basis günstig konstruieren um die Abbildungsmatrix zu erhalten?
Wie würde ich denn vorgehen, wenn ich es nicht erahnen kann, was die Abbildung macht, gibt es eine Schema nach dem ich vorgehen kann?
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> Mag jetzt vlt eine doofe Frage sein, aber muss ich die
> Basis günstig konstruieren um die Abbildungsmatrix zu
> erhalten?
Hallo,
nein.
> Wie würde ich denn vorgehen, wenn ich es nicht erahnen
> kann, was die Abbildung macht, gibt es eine Schema nach dem
> ich vorgehen kann?
Ja.
Sprüchlein zum Merken/Kochrezept:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl der Basen B des Urbildraumes und C des Bildraumes stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. C."
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Fr 09.09.2011 | | Autor: | moffeltoff |
Also ich glaub es sitzt einigermaßen vielen Dank für die Hilfe angela. =)
Mfg
moffeltoff
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