Basisdarstellung eines Polynom < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Basisdarstellung des Polynoms f(x) := 2x² + 4x -1 für die Basen:
i) B1 := {1, 1 + x, 1 + x + x²}
ii) B2 := {3, 4 + 4, 2 + x²} |
Das ist eine Aufgabe, die sich in einem Skript befindet. Ich habe leider vorher noch nicht von einer Basisdarstellung gehört. Daher habe ich mir in dem Buch "Mathematik für Informatiker" von Peter Hartmann erstmal die Definition einer Basis durchgelesen. Erfahren habe ich, dass eine Basis die folgenden Eigenschaften besitzen muss:
Die Basis B (eine Teilmenge des Vektorraum V) besteht aus n Vektoren, wobei n der Grad der Dimensionen ist, und diese spannen den Vektorraum V auf. Die Vektoren n sind zueinander linear unabhängig.
Soweit sogut. Das macht alles Sinn, auch die Beispiele einer Basis, z.B.:
(2, 3), (3, 4) als Basis des R² habe ich halbwegs verstanden.
Allerdings ist mir absolut unklar was die genannte Basisdarstellung des Polynoms sein soll. Ich stehe hier komplett auf dem Schlauch und weiß leider nicht ansatzweise einen Lösungsweg.
Ich hoffe mir kann jemand helfen, da ich in ein paar Tagen eine Klausur schreibe. Ich habe das Thema in die Schulabteilung gelegt, da dies vermutlich schon Stoff des Gymnasiums gewesen sein sollte, wir allerdings nie behandelt haben.
Grüße und vielen Dank,
LearningByDoing
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
In dieser Aufgabe liegt zugrunde der Vektorraum V der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2.
Es ist dim(V) =3.
Sei nun { [mm] p_1,p_2,p_3 [/mm] } eine Basiis von V. Du sollst nun Zahlen a,b, c so bestimmen, dass
f= [mm] ap_1+bp_2+cp_3
[/mm]
ist.
In i) ist z.B: [mm] p_1(x) [/mm] = 1, [mm] p_2(x) [/mm] = 1+x und [mm] p_3(x) [/mm] = [mm] 1+x+x^2
[/mm]
FRED
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Viele Dank,
Könntet ihr mich nochmal bei diesem Gedankengang korrigieren:
Ich suche den Vektor (a,b,c), mit dem sich die Basis zu dem Polynom kombinieren lässt.
Habe ich das richtig verstanden?
Grüße und nochmal Danke,
LearningByDoing
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> Viele Dank,
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> Könntet ihr mich nochmal bei diesem Gedankengang
> korrigieren:
> Ich suche den Vektor (a,b,c), mit dem sich die Basis zu dem
> Polynom kombinieren lässt.
> Habe ich das richtig verstanden?
Möglicherweise ja.
> Grüße und nochmal Danke,
>
> LearningByDoing
Hallo,
ich denke, dass du dich zuerst mit dem Gedanken anfreunden
musst, dass die Vektoren in dem zu betrachtenden Vektorraum
nicht einfach gewöhnliche Zahlentripel sind, sondern für
Polynomfunktionen stehen.
In der "natürlichen" Basis $\ [mm] B_0\ [/mm] =\ [mm] \{1,x,x^2\}$ [/mm] hat das Polynom
f mit $\ f(x)\ =\ [mm] 2\,x^2+4\,x-1$ [/mm] die Darstellung f=(-1,4,2),
denn $\ f(x)\ =\ [mm] (-1)*(1)+4*(x)+2*(x^2)$.
[/mm]
Nun hast du eine andere Basis, nämlich $\ [mm] B_0\ [/mm] =\ [mm] \{1,1+x,1+x+x^2\}$
[/mm]
und sollst die Faktoren a,b und c so bestimmen, dass
$\ f(x)\ =\ [mm] a*(1)+b*(1+x)+c*(1+x+x^2)$
[/mm]
Wichtig ist dabei, dass diese Gleichung für alle Werte von
x gültig ist.
In der weiteren Basis [mm] B_2 [/mm] sollte der zweite Basisvektor wohl
4+4x sein (und nicht 4+4) !
LG Al-Chw.
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Super, ich hab es verstanden.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
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Hallo!
Versuch' mal folgendes:
$ a [mm] \cdot [/mm] 1 + b [mm] \cdot [/mm] (1+x) + c [mm] \cdot (1+x+x^2) [/mm] = [mm] 2\,x^2 [/mm] + [mm] 4\,x-1$
[/mm]
Und dann rechne oder schau' hin, bis Du $c, b$ sowie $a$ hast!
Ist vielleicht doch eher ein Uni-Problem.
Gruß
mathemak
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