Basisbestimmung eines Schnitts < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 15.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man betrachte in [mm] R^6 [/mm] die linearen Unterräume:
U = <(1,1,1,0,1,1), (2,3,4,0,2,1), (0,3,2,1,1,1)>
U' = <(2,6,6,2,2,1), (0,9,4,3,0,1), (1,2,3,1,2,1)>
und bestimme [mm] U\cap [/mm] U' durch Angabe einer Basis. |
Ich hänge jetzt schon einige Zeit an dieser Frage, entweder weil ich völlig falsch denke oder einfach auf dem Schlauch stehe.
Ich benenne die Basisvektoren von U und U' mit [mm] u_1,u_2,u_3, [/mm] und entsprechend mit u'_1,u'_2,u'_3,
Mein Ansatz:
[mm] U\cap [/mm] U' enthält alle Vektoren des [mm] R^6 [/mm] welche sich sowohl durch die Basis von U als auch durch die von U' linear kombinieren lassen.
Daraus folgt:
[mm] x\in U\cap [/mm] U':={x| [mm] x=\alpha_1*u_1+\alpha_2*u_2+\alpha_3*u_3 [/mm] UND [mm] x=\beta_1*u'_1+\beta_2*u'_2+\beta_3*u'_3}
[/mm]
also setze ich die beiden Gleichungen gleich:
[mm] x=\alpha_1*u_1+\alpha_2*u_2+\alpha_3*u_3 [/mm] = [mm] x=\beta_1*u'_1+\beta_2*u'_2+\beta_3*u'_3
[/mm]
und erhalte dann ein Gleichungssystem in Matrixschreibweise:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & -2 & -0 & -1 & x_1\\
1 & 3 & 3 & -6 & -9 & -2 & x_2\\
1 & 4 & 2 & -6 & -4 & -3 & x_3\\
0 & 0 & 1 & -2 & -3 & -1 & x_4\\
1 & 2 & 1 & -2 & -0 & -2 & x_5\\
1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & x_6\\
\end{pmatrix}
[/mm]
wenn ich diese jetzt allerdings via Gauss auflöse erhalte ich einzig die triviale Nullösung und damit ja eigenlich eine Dimension des Schnittes von 6 was unmöglich ist. Allerdings weiß ich auch nicht wo mein Fehler liegen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Man betrachte in [mm]R^6[/mm] die linearen Unterräume:
> U = <(1,1,1,0,1,1), (2,3,4,0,2,1), (0,3,2,1,1,1)>
> U' = <(2,6,6,2,2,1), (0,9,4,3,0,1), (1,2,3,1,2,1)>
>
> und bestimme [mm]U\cap[/mm] U' durch Angabe einer Basis.
> Ich hänge jetzt schon einige Zeit an dieser Frage,
> entweder weil ich völlig falsch denke oder einfach auf dem
> Schlauch stehe.
>
> Ich benenne die Basisvektoren von U und U' mit [mm]u_1,u_2,u_3,[/mm]
> und entsprechend mit u'_1,u'_2,u'_3,
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]U\cap[/mm] U' enthält alle Vektoren des [mm]R^6[/mm] welche sich sowohl
> durch die Basis von U als auch durch die von U' linear
> kombinieren lassen.
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]x\in U\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U':={x| [mm]x=\alpha_1*u_1+\alpha_2*u_2+\alpha_3*u_3[/mm]
> UND [mm]x=\beta_1*u'_1+\beta_2*u'_2+\beta_3*u'_3}[/mm]
>
> also setze ich die beiden Gleichungen gleich:
>
> [mm]x=\alpha_1*u_1+\alpha_2*u_2+\alpha_3*u_3[/mm] =
> [mm]x=\beta_1*u'_1+\beta_2*u'_2+\beta_3*u'_3[/mm]
>
> und erhalte dann ein Gleichungssystem in
> Matrixschreibweise:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & -2 & -0 & -1 & x_1\\
1 & 3 & 3 & -6 & -9 & -2 & x_2\\
1 & 4 & 2 & -6 & -4 & -3 & x_3\\
0 & 0 & 1 & -2 & -3 & -1 & x_4\\
1 & 2 & 1 & -2 & -0 & -2 & x_5\\
1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & x_6\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> wenn ich diese jetzt allerdings via Gauss auflöse erhalte
> ich einzig die triviale Nullösung und damit ja eigenlich
> eine Dimension des Schnittes von 6 was unmöglich ist.
> Allerdings weiß ich auch nicht wo mein Fehler liegen soll.
Warum ist die Dimension des Schnittes =6 ? Du bestimmst doch den Kern der Abbildung.
Dieser hat die Dimension =0 , falls keine Rechenfehler vorliegen.
MfG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 18.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Und wie ermittle ich dann die in der der Aufgabe gesuchte Basis?
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Hallo,
wenn Du herausbekommen hast, daß nur
[mm] a_1=a_2=a_3=b_4=b_5=b_6=0 [/mm] Dein System löst - was ich nicht nachgerechnet habe -, was bedeutet das dann?
Wie sehen dann die Vektoren aus, die im Schnittliegen, was ist die Schnittmenge?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay ich glaub jetzt is der Knoten geplatzt.
Wenn alle Elemente des Schnitts sich durch sowohl die Basis von U als auch durch die Basis von U' linear kombinieren lassen müssen und die Elemente der Basen aber linear unabhängig voneinander sind (nur 0-Lösung des Gleichungssystems), bedeuted dies, dass die linearen Unterräume keine gemeinsamen Elemente außer dem 0-Vektor besitzen.
Also wäre die gesuchte Lösung: Basis des Schnitts= (0)
Richtig? oder wieder falsch gedacht? :-[
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> dass die linearen
> Unterräume keine gemeinsamen Elemente außer dem 0-Vektor
> besitzen.
Genau!!!!!!!
Der Schnitt der beiden Unterräume ist die Menge, die nur ein Element enthält, der kleinste denkbare Vektorraum. Nur der Nullvektor ist enthalten.
Wenn Du schreibst U [mm] \cap U'=\{0\}, [/mm] ist das richtig.
Wenn Du unbedingt eine Basis angeben möchtest: es ist die leere Menge, [mm] \emptyset. [/mm] (Du brauchst da nicht weiter drüber nachzudenken. Es ist eine sinnvolle Vereinbarung.)
Gruß v. Angela
> Also wäre die gesuchte Lösung: Basis des Schnitts= (0)
>
> Richtig? oder wieder falsch gedacht? :-[
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
vielen dank ... jetzt is wieder n bischen mehr ordnung bei mir im kopf *g*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Im Vektorraum V = [mm] \IR^4 [/mm] seien zwei Unterräume
U =< ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) > und W =< (1, 1, 0, 2) >
gegeben.
(a) Bestimmen sie die Basis von U [mm] \cap [/mm] W.
(b) Bestimen sie eine Basis des Summenraums U + W.
(c) Ist die Summe von U und W eine direkte Summe?
(d) Was ist die Dimension des Quotientenraums (U + W) / (U [mm] \cap [/mm] W)? Geben sie eine Basis von (U + W) / (U [mm] \cap [/mm] W) an. |
Eine Ähnliche Aufgabe wie oben nur sind die Basen diesmal linear abhängig ...
(a) ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) und (1, 1, 0, 2) sind linear abhängig und, da dim U = 1 kann auch dim U [mm] \cap [/mm] W maximal 1 sein. Und zwar wird U [mm] \cap [/mm] W dann von <(1, 1, 0, 2)> erzeugt, da dieser Vektor linear abhängig von den beiden Basisvektoren von U ist.
(b) Der Summenraum U + W wird von ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) und (1, 1, 0, 2) erzeugt, da diese Vektoren jedoch l. abh. sind kann man das System "kürzen" bis man ein linear unabhängiges system erhält. Dies ist gegeben wenn man (1, 1, 0, 2) streicht => U +W = < ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) >
(c) Die Summe sist nicht direkt, da die Vektoren nicht l. unabh. sind.
(d) Die Dimension des Quotientenraums ist 1, da dim (U + W) = 2 und dim (U [mm] \cap [/mm] W) = 1. Also Der Summenraum ohne den Schnitt von einer Basis aufgespannt wir die aus Elementen aus der Basis von U bestehen ohne die Elemente die von der Basis von W linear abhängi sind.... < ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) > ist dann nicht mehr von < (1, 1, 0, 2) > l. abh. wenn man einen Vektor streicht also (U + W) / (U [mm] \cap [/mm] W) = < ( 1, 0, 1, -1) >
Habe ich die Zusammenhänge jetzt richtig angewendet und richtig gedacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Im Vektorraum V = [mm]\IR^4[/mm] seien zwei Unterräume
> U =< ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) > und W =< (1, 1,
> 0, 2) >
>
> gegeben.
>
> (a) Bestimmen sie die Basis von U [mm]\cap[/mm] W.
> (b) Bestimen sie eine Basis des Summenraums U + W.
> (c) Ist die Summe von U und W eine direkte Summe?
> (d) Was ist die Dimension des Quotientenraums (U + W) / (U
> [mm]\cap[/mm] W)? Geben sie eine Basis von (U + W) / (U [mm]\cap[/mm] W) an.
> Eine Ähnliche Aufgabe wie oben nur sind die Basen diesmal
> linear abhängig ...
>
> (a) ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0) und (1, 1, 0, 2) sind
> linear abhängig
Hallo,
lt. meiner Rechnung sind sie unabhängig.
Prüf das nochmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay stimmt die vektoren sind linear unabhängig
dann ändert sich dass alles natürlich ein bisschen:
(a) Die Basis ist dann < [mm] \emptyset [/mm] >
(b) Die Basis von U + W wäre dann U +W = < ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0), (1, 1, 0, 2) >
(c) Die Summe ist dann direkt weil U und V außer 0 keine gemeinsamen Elemente haben
(d) Die Basis des Quotientenraums wäre dann die gleiche wie des des Summenraums also < ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0), (1, 1, 0, 2) > und die Dimension dim ((U + W) / (U [mm] \cap [/mm] W)) = 3 allerdings läge dort ja dann auch der Nullvektor drin, welcher ja auch im Schnitt liegt und damit nicht im Quotientenraum liegen dürfte, was diesen ja dann aber zu einem "nicht-Verktorraum" machen würde
Jetzt korrekt? und wie löse ich das Problem in (d)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Do 22.03.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
hmm, Du scheinst da Quotientenraum und Mengendifferenz durcheinander zu kriegen. Der Nullvektor von [mm] $(V+W)/(V\cap [/mm] W)$ ist [mm] $\{0\} [/mm] = 0 + [mm] \{0\}$, [/mm] also die Restklasse des Nullvektors in $V+W$. Und die ist in
[mm] $(V+W)/(V\cap [/mm] W) = [mm] \{ x + (V\cap W) \mid x \in V+W \}$
[/mm]
ja wohl enthalten.
Hoffe, das hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 22.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay da hab ich auf dem Schlauch gestanden. (U + W) \ (U [mm] \cap [/mm] W) besteht also aus Restklassen.
Müssten diese dann aber nicht so aufgebaut sein:
u + [mm] (U\cap [/mm] W) [mm] \in [/mm] (U + W) \ (U [mm] \cap [/mm] W) , u [mm] \in [/mm] (U + W) ?
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> (U + W) \ (U [mm]\cap[/mm] W) besteht also aus Restklassen.
>
> Müssten diese dann aber nicht so aufgebaut sein:
>
> u + [mm](U\cap[/mm] W) [mm]\in[/mm] (U + W) \ (U [mm]\cap[/mm] W) , u [mm]\in[/mm] (U + W) ?
Ja, so sind sie aufgebaut.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 22.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Dann müsste die Dimension des Quotientenraums doch der des Summenraums U + W entsprechen und die Basis müsste:
< ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0), (1, 1, 0, 2) > + (U [mm] \cap [/mm] W) sein
Oder?
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> Dann müsste die Dimension des Quotientenraums doch der des
> Summenraums U + W entsprechen
Ja, das hattest Du ja auch bereits ausgerechnet.
und die Basis müsste:
>
> < ( 1, 0, 1, -1), (1, -1, 2, 0), (1, 1, 0, 2) > + (U [mm]\cap[/mm]
> W) sein
>
> Oder?
Du meinst sicher das Richtige.
Die Basis ist
( ( 1, 0, 1, -1)+(U [mm] \cap [/mm] W),(1, -1, 2, 0)+(U [mm] \cap [/mm] W), (1, 1, 0, 2)+(U [mm] \cap [/mm] W)).
Nun ist ja U [mm] \cap [/mm] W={0}.
Was Du - nicht für die Lösung der Aufgabe, sondern für Dich - noch tun solltest:
Überlege Dir, was ( 1, 0, 1, -1)+{0} ist.
Zu diesem Zweck schlage in Deinen Unterlagen nach, wie u+W definiert ist.
Gruß v. Angela
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Hallo,
a,b,c sind jetzt richtig.
Gruß v, Angela
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