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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nennen wir die Matrix aus der Aufgabe einfach mal A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & -5 & 3}
[/mm]
Mein Ansatz:
B = [mm] (b_1, b_2, b_3, b_4) [/mm] und C = [mm] (c_1, c_2, c_3). [/mm] Die Abbildungsmatrix erhalte ich nun, indem ich die Bilder von B berechne und die jeweiligen Bilder als Linearkombination von [mm] c_1, c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] ausdrücke. Die jeweiligen Koeffizienten bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix, die mir ja gegeben ist.
Daher:
(1) [mm] \phi(b_1) [/mm] = [mm] Ab_1 [/mm] = [mm] a_{11}c_1 [/mm] + [mm] a_{12}c_2 [/mm] + [mm] a_{13}c_3
[/mm]
(2) [mm] \phi(b_2) [/mm] = [mm] Ab_2 [/mm] = [mm] a_{21}c_1 [/mm] + [mm] a_{22}c_2 [/mm] + [mm] a_{23}c_3
[/mm]
(3) [mm] \phi(b_3) [/mm] = [mm] Ab_3 [/mm] = [mm] a_{31}c_1 [/mm] + [mm] a_{32}c_2 [/mm] + [mm] a_{33}c_3
[/mm]
(4) [mm] \phi(b_4) [/mm] = [mm] Ab_4 [/mm] = [mm] a_{41}c_1 [/mm] + [mm] a_{42}c_2 [/mm] + [mm] a_{43}c_3
[/mm]
Ich weiß, da ich die Abbildungsmatrix kenne, dass [mm] a_{12} [/mm] = 0 und [mm] a_{13} [/mm] = 0. Außerdem kann ich [mm] Ab_1 [/mm] mit [mm] b_1 [/mm] = [mm] (b_{11}, b_{12}, b_{13}, b_{14}) [/mm] relativ konkret ausrechnen. Aber mit [mm] c_1 [/mm] = [mm] (c_{11}, c_{12}, c_{13}) [/mm] erhalte ich für (1) ein Gleichungssystem mit extrem vielen Unbekannten.
Irgendwas ist faul. :(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Nennen wir die Matrix aus der Aufgabe einfach mal A =
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & -5 & 3}[/mm]
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Hallo,
mach mal folgendes:
Berechne eine Basis des Kerns der darstellenden Matrix. Der Kern wird eindimensional sein, also erhältst Du einen Vektor [mm] b_4, [/mm] welchen Du als 4.Basisvektor Deiner neuen Basis nehmen kannst.
Damit hast Du schonmal die letzte Spalte der geforderten Matrix, denn wie auch immer die Basis C aussehen wird, es wird sein
[mm] \phi(b_4)=\vektor{0 \\ 0\\ 0}_C
[/mm]
Ergänze diesen Vektor [mm] b_4 [/mm] nun durch drei Vektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Und dann definiere [mm] c_i:=\phi(b_i), [/mm] i=1,2,3.
Gruß v. Angela
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Danke. Du bist genial.
Hätte mein Weg nicht zum Ziel geführt?
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> Danke. Du bist genial.
Um Himmelswillen!!! Nein, nein, das ist alles mühsam angelernt. Steter Tropfen...
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> Hätte mein Weg nicht zum Ziel geführt?
Jein.
Da Du ja die geforderte Abbildungsmatrix vorliegen hast mit ihren [mm] a_i_j \in \{0,1} [/mm] hättest Du bekommen
[mm] \phi(b_1)=c_1
[/mm]
[mm] \phi(b_2)=c_2
[/mm]
[mm] \phi(b_3)=c_3
[/mm]
[mm] \phi(b_4)=0.
[/mm]
(Für diese Information braucht man natürlich kein GS, das kann man der Matrix ja direkt entnehmen.
Schließlich soll es ja die Abbildungsmatrix für die Basen B,C sein. Mach Dir das unbedingt klar.)
Wenn Du jetzt im Angesichte dessen, was da oben steht, den Gedanken hast, einfach den Kern zu berechnen und diesen zu einer Basis zu ergänzen, hast Du das getan, was ich gesagt habe.
Ich bin mit meinen guten Tips also nach dem Aufstellen des obigen Gleichungssystems eingestiegen.
Gruß v. Angela
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