Basis von VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Hänge gerade an folgender Aufgabe:
Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Polynome mit rellen Koeffizienten von Grad [mm] \le [/mm] 4.
a) Beweise, dass 15, 10x+94, [mm] (x+2.76)^{2}+x, (x+\pi)^{4} [/mm] und [mm] 9x^{3}+x [/mm] eine Basis von V bilden.
Nun, dafür muss ich ja zeigen, dass obige Polynome linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
Zum Erzeugendensystem muss ich ja eigentlich nur sagen, dass die Dimension obiger Polynome = der Dimension vom VR V ist.
Aber wie kann ich nun die lineare Unabhängigkeit zeigen?
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen....
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Hallo,
hier muss man ganz stur die Definition der linearen Unabhängigkeit anwenden: wenn eine Linearkombination der fünf Polynome Null ergibt, dann eben nur für die Triviallösung
[mm] \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_5=0
[/mm]
Gruß, Diophant
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Hallo
Stimmt den die folgende Begründung zum Erzeugendensystem?
"Dimension obiger Polynome = Dimension vom VR V ist -> Erzeugendensystem"
Also nun zur linearen Unabhängigkeit, ich muss also zeigen, dass
[mm] 15*\lambda_{1} [/mm] + [mm] (10x+94)*\lambda_{2} [/mm] + [mm] ((x+2.76)^{2}+x)*\lambda_{3} [/mm] + [mm] (x+\pi)^{4}*\lambda_{4} [/mm] + [mm] (9x^3+x)*\lambda_{5}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=0
[/mm]
Und für den Rest muss ich das alles jetzt ausmultiplizieren, oder?
Vielen Dank bereits an dieser Stelle für eure Hilfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Di 04.02.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo
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> Stimmt den die folgende Begründung zum Erzeugendensystem?
> "Dimension obiger Polynome = Dimension vom VR V ist ->
> Erzeugendensystem"
Nein, diese Aussage ist nicht sinnvoll, denn Polynome haben keine Dimension.
>
> Also nun zur linearen Unabhängigkeit, ich muss also
> zeigen, dass
> [mm]15*\lambda_{1}[/mm] + [mm](10x+94)*\lambda_{2}[/mm] +
> [mm]((x+2.76)^{2}+x)*\lambda_{3}[/mm] + [mm](x+\pi)^{4}*\lambda_{4}[/mm] +
> [mm](9x^3+x)*\lambda_{5}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=0[/mm]
> Und für den Rest muss ich das
> alles jetzt ausmultiplizieren, oder?
Ja, kannst Du machen. Alternativ: Versuche ueber die Grade der Summanden zu argumentieren.
>
> Vielen Dank bereits an dieser Stelle für eure Hilfe...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Di 04.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
@Babybel73:
Diese von hippias aufgezeigte Möglichkeit
> > Und für den Rest muss
> ich das
> > alles jetzt ausmultiplizieren, oder?
> Ja, kannst Du machen. Alternativ: Versuche ueber die Grade
> der Summanden zu argumentieren.
ist natürlich viel eleganter als der von mir vorgeschlagene Weg. Ich hatte sie gestern übersehen.
Gruß, Diophant
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Hallo hippias
Wie meinst du über die Grade der Summanden argumentieren??
Und wie zeige ich den dann das es ein Erzeugendensystem ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Di 04.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
jedes deiner Polynome hat einen anderen Grad =höchster Exponent. wie kannst du dann argumentieren, dass die [mm] \lambda [/mm] alle 0 sein MÜSSEN?
gruß leduart
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Hallo
Ich weiss nun was du meinst, aber wie ich dies schön formulieren könnte weiss ich nicht genau.
Ich könnte ja so etwas sagen wie: Da alle Polynome einen anderen Grad haben, lässt sich keines durch eine Linearkombination von anderen darstellen?
Ich habe es nun so gelöst:
1) Lineare Unabhängigkeit
[mm] \pmat{ 15 & 94 & 2.76^2 & 0 & \pi^4 \\ 0 & 10 & 6.52 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \\ \lambda_5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_5 [/mm] = 0
....
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=\lambda_5=0
[/mm]
Ist das so korrekt?
2) Erzeugendensystem
Hierzu muss ich ja einen beliebigen Vektor [mm] \vec{a} [/mm] als Linearkombination der Basis darstellen.
Wie kann ich das schön aufschreiben?
Besten Dank für eure Hilfe... :/
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> Hallo
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> Ich weiss nun was du meinst, aber wie ich dies schön
> formulieren könnte weiss ich nicht genau.
> Ich könnte ja so etwas sagen wie: Da alle Polynome einen
> anderen Grad haben, lässt sich keines durch eine
> Linearkombination von anderen darstellen?
Hallo,
ja, so könntest Du es schreiben. Die fünf Polynome sind also linear unabhängig, und da die Dimension des betrachteten Raumes 5 ist, sind sie eine Basis.
>
>
> Ich habe es nun so gelöst:
> 1) Lineare Unabhängigkeit
> [mm]\pmat{ 15 & 94 & 2.76^2 & 0 & \pi^4 \\ 0 & 10 & 6.52 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> * [mm]\vektor{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \\ \lambda_5}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_5[/mm] =
> 0
> ....
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=\lambda_5=0[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ich hab's nicht nachgerechnet, die Idee jedenfalls, auszumultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich zu machen, ist richtig.
>
> 2) Erzeugendensystem
> Hierzu muss ich ja einen beliebigen Vektor [mm]\vec{a}[/mm] als
> Linearkombination der Basis darstellen.
Ja. Du müßtest vormachen, mit welchen Koeffizienten man
[mm] a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 [/mm]
als Linearkombination der 5 Basisvektoren schreiben kann.
Das kannst Du via Koeffizientenvergleich ausrechnen.
Ich würd's nicht machen, sondern so argumentieren:
die Dimension des betrachteten Vektorraumes ist bekanntlich 5, man hat 5 linear unabhängige Vektoren dieses Raumes, also eine Basis.
LG Angela
>
> Wie kann ich das schön aufschreiben?
>
> Besten Dank für eure Hilfe... :/
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Hallo Angela
Vielen Dank für deine Hilfe.
Nun habe ich aber noch eine Teilaufgabe b & c:
b) Finde die Korrdinaten (=Kompontenten) des Polynoms p(x)= x+1 [mm] \in [/mm] V bezüglich der Basis aus a.
c) Beweise, dass die Menge [mm] {p\in V: p(19.567)=0} [/mm] ein Untervektorraum von V ist & bestimme seine Dimension.
Nun zu b:
Da kann ich ja einfach folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] \pmat{ 15 & 94 & 2.76^2 & 0 & \pi^4 \\ 0 & 10 & 6.52 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_5=a_4=a_3=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow a_2=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 15*a_1= 1-\bruch{94}{10} \Rightarrow a_1=-\bruch{42}{75}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Koordinaten von p(x) bzgl. B: [mm] \vektor{-42/10 \\ 1/10 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ist das so korrekt?
Zu c)
Definiere [mm] W={p\in V: p(19.567)=0}
[/mm]
Hier muss ich doch 2 Sachen zeigen:
1) a,b [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] W
2) [mm] \alpha \in \IR, [/mm] a [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow \alpha*a \in [/mm] W
Aber wie kann ich das denn nun zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Di 04.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
p1(19..)=0 p2(19---)=0 was ist wohl r*p1(19)+s*p2(19 ) ?
Gruss leduart
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Hallo
Das heisst, ich kann einfach sagen, da r*p1(19)+s*p2(19) = 0 [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] W ist ein Untervektorraum von V.
Reicht das wirklich aus?
Und nun noch zur Dimension: Hierzu müsste ich ja eine Basis des Untervektorraums bestimmen... Wie kann ich das nun machen?
Dann habe ich in meiner ersten Frage noch gefragt, ob b stimmt...????
Da kann ich ja einfach folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] \pmat{ 15 & 94 & 2.76^2 & 0 & \pi^4 \\ 0 & 10 & 6.52 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_5=a_4=a_3=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow a_2=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 15*a_1= 1-\bruch{94}{10} \Rightarrow a_1=-\bruch{42}{75}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Koordinaten von p(x) bzgl. B: [mm] \vektor{-42/10 \\ 1/10 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mi 05.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du richtig aufschreibst ja.
zur Basis, nimm polynome vpm 0 ten bis 4 tenGrades (möglichst einfach, für die gilt p(9)=0
wieviele davon sind lin unabhängig?
Gruß leduart
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Hallo
> Hallo
> wenn du richtig aufschreibst ja.
> zur Basis, nimm polynome vpm 0 ten bis 4 tenGrades
> (möglichst einfach, für die gilt p(9)=0
Also ich habe nun folgende Polynome:
[mm] p_1=0 [/mm] (Nullpolynom)
[mm] p_2=1/19.567 [/mm] * x
[mm] p_3=1/19.567^2 [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
[mm] p_4=1/19.567^3 [/mm] * [mm] x^3
[/mm]
[mm] p_5=1/19.567^4 [/mm] * [mm] x^4
[/mm]
Dann ist die Dimension dieses Unterraum's 4.
Stimmt das?
> wieviele davon sind lin unabhängig?
> Gruß leduart
>
Danke für deine Hilfe!
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Hallo,
> > zur Basis, nimm polynome vpm 0 ten bis 4 tenGrades
> > (möglichst einfach, für die gilt p(9)=0
>
> Also ich habe nun folgende Polynome:
> [mm]p_1=0[/mm] (Nullpolynom)
> [mm]p_2=1/19.567[/mm] * x
> [mm]p_3=1/19.567^2[/mm] * [mm]x^2[/mm]
> [mm]p_4=1/19.567^3[/mm] * [mm]x^3[/mm]
> [mm]p_5=1/19.567^4[/mm] * [mm]x^4[/mm]
Aber wenn ich in diese Polynome x = 9 einsetze, kommt doch gar nicht Null raus.
Du solltest stattdessen solche auswählen:
[mm] $p_1(x) [/mm] = (x-9)$
[mm] $p_2(x) [/mm] = [mm] (x-9)^2$
[/mm]
[mm] $p_3(x) [/mm] = [mm] (x-9)^3$
[/mm]
[mm] $p_4(x) [/mm] = [mm] (x-9)^4$
[/mm]
Die korrekte Argumentation lautet nun: [mm] $p_1,p_2,p_3,p_4$ [/mm] sind linear unabhängig und liegen in dem Untervektorraum $W := [mm] \{p \mbox{ Polynom vom Grad }\le 4: p(9) = 0\}$ [/mm] von $V = [mm] \{p \mbox{ Polynom vom Grad }\le 4\}$.
[/mm]
Damit ist $dim(W) [mm] \ge [/mm] 4$.
Ziel ist es, zu zeigen: $dim(W) = 4$.
Weil wir wissen, dass $dim(V) = 5$ ist, müsstest du nur noch zeigen, dass es ein Element gibt, welches in $V$ liegt, aber nicht in $W$. Was ist ein solches?
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan :)
> Hallo,
>
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> > > zur Basis, nimm polynome vpm 0 ten bis 4 tenGrades
> > > (möglichst einfach, für die gilt p(9)=0
> >
> > Also ich habe nun folgende Polynome:
> > [mm]p_1=0[/mm] (Nullpolynom)
> > [mm]p_2=1/19.567[/mm] * x
> > [mm]p_3=1/19.567^2[/mm] * [mm]x^2[/mm]
> > [mm]p_4=1/19.567^3[/mm] * [mm]x^3[/mm]
> > [mm]p_5=1/19.567^4[/mm] * [mm]x^4[/mm]
>
> Aber wenn ich in diese Polynome x = 9 einsetze, kommt doch
> gar nicht Null raus.
>
Muss es doch auch nicht, denn die Aufgabenstellung lautete ja:
c) Beweise, dass die Menge [mm] {p\in V: p(19.567)=0} [/mm] ein
Untervektorraum von V ist & bestimme seine Dimension.
Sie wurde nur immer abgekürzt geschrieben....
Also wären die Polynome ja:
[mm] p_1(x) [/mm] = (x-19.567)
[mm] p_2(x) [/mm] = [mm] (x-19.567)^2
[/mm]
[mm] p_3(x) [/mm] = [mm] (x-19.567)^3
[/mm]
[mm] p_4(x) [/mm] = [mm] (x-19.567)^4
[/mm]
> Du solltest stattdessen solche auswählen:
>
> [mm]p_1(x) = (x-9)[/mm]
> [mm]p_2(x) = (x-9)^2[/mm]
> [mm]p_3(x) = (x-9)^3[/mm]
> [mm]p_4(x) = (x-9)^4[/mm]
>
> Die korrekte Argumentation lautet nun: [mm]p_1,p_2,p_3,p_4[/mm] sind
> linear unabhängig und liegen in dem Untervektorraum [mm]W := \{p \mbox{ Polynom vom Grad }\le 4: p(9) = 0\}[/mm]
> von [mm]V = \{p \mbox{ Polynom vom Grad }\le 4\}[/mm].
>
> Damit ist [mm]dim(W) \ge 4[/mm].
> Ziel ist es, zu zeigen: [mm]dim(W) = 4[/mm].
>
> Weil wir wissen, dass [mm]dim(V) = 5[/mm] ist, müsstest du nur noch
> zeigen, dass es ein Element gibt, welches in [mm]V[/mm] liegt, aber
> nicht in [mm]W[/mm]. Was ist ein solches?
Das wäre dann das konstante Polynom. z.B. p(x)=1
Also folgt dann, dass dim W = 4!
Ist das nun so korrekt?
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > > Also ich habe nun folgende Polynome:
> > > [mm]p_1=0[/mm] (Nullpolynom)
> > > [mm]p_2=1/19.567[/mm] * x
> > > [mm]p_3=1/19.567^2[/mm] * [mm]x^2[/mm]
> > > [mm]p_4=1/19.567^3[/mm] * [mm]x^3[/mm]
> > > [mm]p_5=1/19.567^4[/mm] * [mm]x^4[/mm]
> >
> > Aber wenn ich in diese Polynome x = 9 einsetze, kommt doch
> > gar nicht Null raus.
> >
>
> Muss es doch auch nicht, denn die Aufgabenstellung lautete
> ja:
> c) Beweise, dass die Menge [mm]{p\in V: p(19.567)=0}[/mm] ein
> Untervektorraum von V ist & bestimme seine Dimension.
> Sie wurde nur immer abgekürzt geschrieben....
Ja ich weiß, aber auch so hätte es mit deinen Polynomen nicht geklappt. Die werden ja nur Null, wenn man Null einsetzt.
> Also wären die Polynome ja:
> [mm]p_1(x)[/mm] = (x-19.567)
> [mm]p_2(x)[/mm] = [mm](x-19.567)^2[/mm]
> [mm]p_3(x)[/mm] = [mm](x-19.567)^3[/mm]
> [mm]p_4(x)[/mm] = [mm](x-19.567)^4[/mm]
So ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Du solltest stattdessen solche auswählen:
> >
> > [mm]p_1(x) = (x-9)[/mm]
> > [mm]p_2(x) = (x-9)^2[/mm]
> > [mm]p_3(x) = (x-9)^3[/mm]
>
> > [mm]p_4(x) = (x-9)^4[/mm]
> >
> > Die korrekte Argumentation lautet nun: [mm]p_1,p_2,p_3,p_4[/mm] sind
> > linear unabhängig und liegen in dem Untervektorraum [mm]W := \{p \mbox{ Polynom vom Grad }\le 4: p(9) = 0\}[/mm]
> > von [mm]V = \{p \mbox{ Polynom vom Grad }\le 4\}[/mm].
> >
> > Damit ist [mm]dim(W) \ge 4[/mm].
> > Ziel ist es, zu zeigen:
> [mm]dim(W) = 4[/mm].
> >
> > Weil wir wissen, dass [mm]dim(V) = 5[/mm] ist, müsstest du nur noch
> > zeigen, dass es ein Element gibt, welches in [mm]V[/mm] liegt, aber
> > nicht in [mm]W[/mm]. Was ist ein solches?
>
> Das wäre dann das konstante Polynom. z.B. p(x)=1
Genau!
> Also folgt dann, dass dim W = 4!
>
> Ist das nun so korrekt?
Ja.
Viele Grüße,
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Ok. :) Vielen Dank für deine Hilfe!
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