Basis von Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass man wie folgt eine Basis für den Untervektorraum [mm] V:=span(v_{1},...,v_{n}) [/mm] mit [mm] v_{i}\in K^{m} [/mm] bestimmen kann:
Schreibe die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{n} [/mm] in eine Matrix und zwar als Zeilen. Überführe die Matrix in ihre reduzierte Zeilenstufenform. Jene Zeilen mit führenden Einträgen bilden eine Basis von V. |
So wirklich ne Idee, wie man an die Aufgabe herangehen soll, habe ich nicht.
Eine Basis muss ja 1. überhaupt im Aufspann drin sein (also die Elemente der Basis). Dies ist trivial, da die Vektoren ja durch elementare Zeilenoperationen (also Addition und skalare Multiplikation hervorgehen); 2. sie sollten linear unabhängig sein. Dies ist auch trivial; 3. die Mächtigkeit der Basis muss der Dimension entsprechen.
Damit sollte es eine Basis sein, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich den 3. Punkt zeige.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Zeigen Sie, dass man wie folgt eine Basis für den
> Untervektorraum [mm]V:=span(v_{1},...,v_{n})[/mm] mit [mm]v_{i}\in K^{m}[/mm]
> bestimmen kann:
> Schreibe die Vektoren [mm]v_{1}[/mm] bis [mm]v_{n}[/mm] in eine Matrix und
> zwar als Zeilen. Überführe die Matrix in ihre reduzierte
> Zeilenstufenform. Jene Zeilen mit führenden Einträgen
> bilden eine Basis von V.
> So wirklich ne Idee, wie man an die Aufgabe herangehen
> soll, habe ich nicht.
> Eine Basis muss ja 1. überhaupt im Aufspann drin sein
> (also die Elemente der Basis). Dies ist trivial, da die
> Vektoren ja durch elementare Zeilenoperationen (also
> Addition und skalare Multiplikation hervorgehen); 2. sie
> sollten linear unabhängig sein. Dies ist auch trivial; 3.
> die Mächtigkeit der Basis muss der Dimension entsprechen.
> Damit sollte es eine Basis sein, allerdings habe ich keine
> Ahnung, wie ich den 3. Punkt zeige.
Folgt aus 1) und 2), denn eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
LG, Alex
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