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| Aufgabe | Bestimme eine Basis des Lösungsraumes des homogenen LGS zur folgendes Matrix:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 & 5\\ 0 & -2 & 3 & 4 & 0\\ 4 & 2 & -2 & -1 & 6\\ 3 & -2 & 2 & 0 & 1} [/mm] |
Mir ist zwar klar wie ich hier den Gauß-Algorithmus anwenden muss etc.
Aber ich habe da einige allg. Verständnisfragen:
1.) Man sieht, dass die Matrix mehr Spalten als Zeilen hat. Kann man daraus schließen, dass die Matrix linear abhängige Vektoren hat?
2.) Mit dem Gauß-Algorithmus stellt man fest, dass dieses LGS eine Nullzeile liefert und damit linear abhängig ist. Also muss ich nun einen der Vektoren weglassen, um eine Basis zu erhalten. Wie erkenne ich am besten, welchen Vektor ich rausnehmen sollte?
Ich meine dies is schon eine große Matrix und es kann ja nicht sein, dass man dann 5 mal den Gauß anwenden muss, um eine Basis zu bestimmen...
3.) Sind die folgenden Implikationen legitim?
Die Matrix ist quadratisch und damit invertierbar?
Die Matrix ist linear unabhängig und damit eine Basis und muss damit eine quadratische Form besitzen?
Bin für jede Hilfe dankbar!
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> Bestimme eine Basis des Lösungsraumes des homogenen LGS
> zur folgendes Matrix:
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> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 & 5\\ 0 & -2 & 3 & 4 & 0\\ 4 & 2 & -2 & -1 & 6\\ 3 & -2 & 2 & 0 & 1}[/mm]
>
> Mir ist zwar klar wie ich hier den Gauß-Algorithmus
> anwenden muss etc.
> Aber ich habe da einige allg. Verständnisfragen:
>
> 1.) Man sieht, dass die Matrix mehr Spalten als Zeilen hat.
> Kann man daraus schließen, dass die Matrix linear
> abhängige Vektoren hat?
Hallo,
ja.
>
> 2.) Mit dem Gauß-Algorithmus stellt man fest, dass dieses
> LGS eine Nullzeile liefert und damit linear abhängig ist.
> Also muss ich nun einen der Vektoren weglassen, um eine
> Basis zu erhalten. Wie erkenne ich am besten, welchen
> Vektor ich rausnehmen sollte?
Hm. Was Du gerade schilderst, läuft aber eher darauf hinaus, eine Basis des Bildes anzugeben.
Willst Du das? Oder willst Du den Lösungsraum des Systems?
Eine Basis des Bildes bekommst Du, wenn Du guckst, in welchen Spalten der ZSF die führenden Zeilenelemente stehen. Die entsprechenden Ursprungsspalten(!) bilden eine Basis des Bildes.
Für den Lösungsraum hingegen brauchst Du eine Basis des Kerns. Am besten zeigst Du mal Deine ZSF, dann kann man besser darüber reden.
> Ich meine dies is schon eine große Matrix und es kann ja
> nicht sein, dass man dann 5 mal den Gauß anwenden muss, um
> eine Basis zu bestimmen...
In der Tata nicht.
>
> 3.) Sind die folgenden Implikationen legitim?
>
> Die Matrix ist quadratisch und damit invertierbar?
Nein. es gibt quadratische Matrizen, die nicht invertierbar sind. Z.B. die Nullmatrix.
>
> Die Matrix ist linear unabhängig
Was soll das bedeuten?
> und damit eine Basis
Wovon?
> und
> muss damit eine quadratische Form besitzen?
Ich weiß nicht, was Du hier meinst.
Fakt ist: nur quadratische matrizen können invertierbar sein.
Gruß v. Angela
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> Bin für jede Hilfe dankbar!
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| Aufgabe | Danke für die schnelle Antwort. Also die Aufgabenstellung steht ja oben. Ich soll die Basis vom Lösungsraum der Matrix bestimmen.
Und ich dachte das geht nur, wenn ich eine Spalte rausnehme, da das LGS sonst immer linear abhängig sein wird (mehr spalten als zeilen).
also meine ZSF sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 6\\ 0& 0& 1& -7\\ 0&0&0&108 }
[/mm]
und daraus folgt jetzt, dass [mm] x_4=x_3=x_2=x_1=0
[/mm]
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Was ist denn nun die Basis? Der Nullvektor kann es ja nicht sein....
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> Danke für die schnelle Antwort. Also die Aufgabenstellung
> steht ja oben. Ich soll die Basis vom Lösungsraum der
> Matrix bestimmen.
> Und ich dachte das geht nur, wenn ich eine Spalte
> rausnehme, da das LGS sonst immer linear abhängig sein
> wird (mehr spalten als zeilen).
>
> also meine ZSF sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 6\\ 0& 0& 1& -7\\ 0&0&0&108 }[/mm]
Hallo,
da Deine Matrix eine 4x5-Matrix war, und hier nun eine 4x4-Matrix steht, kann dies nicht die ZSF sein.
Du darfst nicht einfach eine Spalte weglassen!
> und daraus folgt jetzt, dass [mm]x_4=x_3=x_2=x_1=0[/mm]
>
>
> Was ist denn nun die Basis? Der Nullvektor kann es ja nicht
> sein....
Von dem linearen homogenen Gleichungssystem, welches durch die hier gepostete Koeffizientenmatrix repräsentiert wird, ist in der Tat der Nullvektor die einzige Lösung - aber nicht für Dein System.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Upsala. Mein Fehler. Also nochmal. Ich habe dann folgende ZSF erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 &5 \\ 0 & -2 & 3&4&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0}
[/mm]
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Wie man sieht erhält man 2 Nullzeilen.... was soll ich denn nun machen?
Das einzige was mir einfiel, war eine Spalte rauszunehmen....
Aber so wie ich das verstanden habe, darf ich das gar nicht.
Was nun?
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> Upsala. Mein Fehler. Also nochmal. Ich habe dann folgende
> ZSF erhalten:
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 &5 \\ 0 & -2 & 3&4&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0}[/mm]
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> Wie man sieht erhält man 2 Nullzeilen.... was soll ich
> denn nun machen?
> Das einzige was mir einfiel, war eine Spalte
> rauszunehmen....
> Aber so wie ich das verstanden habe, darf ich das gar
> nicht.
> Was nun?
Hallo,
ob Deine ZSF stimmt, habe ich nicht geprüft, ich arbeite einfach mit dergegebenen weiter.
Du wolltest die Lösung eines homogenen LGS berechnen, diese Aufgabenstellung entspricht der Bestimmung des Kerns der Matrix.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2. Spalte Deiner Matrix.
Dann kannst Du die 3., 4., 5 Variable frei wählen, etwa
[mm] x_5=t
[/mm]
[mm] x_4=s
[/mm]
[mm] x_3=r.
[/mm]
Für die beiden anderen Variablen ergibt sich aus Zeile 2 und Zeile 1
[mm] x_2=\bruch{3}{2}r+2s
[/mm]
[mm] x_1=-2x_2+x_3-3x_4-5x_5=3r+4s+r-3s-5t=4r+s-5t.
[/mm]
Damit haben die Lösungsvektoren die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{4r+s-5t.\\\bruch{3}{2}r+2s\\r\\s\\t}=r\vektor{4\\\bruch{3}{2}\\1\\0\\0}+s\vektor{1\\2\\0\\1\\0}+t\vektor{-5\\0\\0\\0\\1},
[/mm]
und die drei Vektoren bilden eine Basis des Lösungsraumes.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | hmm... so muss man also vorgehen. vielen vielen dank! |
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