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| Aufgabe | Gegeben seien im Vektorraum [mm] \IR ^4 [/mm] die beiden Unterräume
[mm]
U=\left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \IR ^4 | x_1 = x_2 = x_3 = x_4\right\}
W=\left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \IR ^4 | x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \right\}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \IR ^4 = U \oplus W[/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Zeigen, dass der Schnitt nur die 0 enthält ist nicht das Problem. Um jetzt zeigen zu können, dass der [mm] \IR ^4[/mm] auch Summe aus diesen beiden Unterräumen ist, dachte ich, wende ich den Dimensionssatz an: Die Dimension der Summe aus beiden Räumen abzüglich der Dimension des Schnittes (=0) ist die Dimension des Raumes, den die Summe beider Räume bildet. Wenn man jetzt zeigen kann, dass die Summe der Dimensionen beider Unterräume 4 ist, ist man fertig. Für U kommt man sehr schnell auf (1,1,1,1) als Basisvektor. Ebenso findet man, dass (1,-1,0,0) , (0,1,-1,0) , (0,0,1,-1) linear unabhängig sind. Und jetzt ist der Punkt an dem ich mir nicht ganz sicher bin:
Prinzipiell denke ich mir, kann man sagen, dass ich vier Basisvektoren gefunden habe, von Räumen, deren Schnitt nur die Null enthält. Also sind diese Dinger linear unabhängig und stellen somit den [mm] \IR ^4 [/mm] dar. Kann man hier so argumentieren?
Und die andere Unklarheit auf die ich dabei gestoßen bin ist folgende: Wenn ich einen Vektorraum gegeben habe, zu dem ich eine Basis finden soll, dessen Dimension ich aber nicht kenne, versuche ich linear unabhängige Vektoren zu finden. Aber wo höre ich auf? Woher weiß ich letzten Endes, dass die 3 Basisvektoren, die ich oben für W gefunden habe, auch tatsächlich ganz W darstellen können (wenn ich die Information nicht hätte, dass es wegen U maximal 3 sein können)
Ich bin da bisher noch auf keinen Schlus gekommen
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo,
ich denke mal es gibt da verschiedene Wege zu erkennen, wann man aufhören muss.
Am einfachsten finde ich, die "Bildungsvorschrift" nach einzelnen [mm] x_i [/mm] umzustellen und dann zu schauen, wie viele einzelnen Einträge eines Vektors nötig sind,damit du weißt wie die anderen gewählt werden müssen, damit der Vektor in dem Unterraum enthalten ist. Das klingt vllt n bissl komisch. Ich machs mal an deinem Bsp. etwas klarer.
[mm] U=\left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \IR ^4 | x_1 = x_2 = x_3 = x_4\right\}
[/mm]
Zu U: Du brauchst nur 1 einziges [mm] x_i [/mm] (i=1,...,4) um damit eindeutig auf alle anderen Einträge des Vektors [mm] v\in [/mm] U zu schließen. Umständlich aufgeschrieben [mm] x_1:=t, x_2=x_3=x_4=t. [/mm] Damit ergibt sich ja auch die Basis [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}\}
[/mm]
[mm] W=\left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \IR ^4 | x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \right\}
[/mm]
[/mm]
Hier ist das ein wenig anders:
[mm] x_1=-x_2-x_3-x_4. [/mm] Du brauchst also 3 Einträge eines Vektors, um auf alle anderen (in dem Fall den letzten) schließen zu können. Damit siehst man, dass es 3 Basisvektoren sein müssen. Warum das genauso ist, kann ich nur schwer erklären. Wenn iwas unschlüssig ist, dann frag ruhig nochmal nach. Wenn man lange genug drüber nachdenkt, macht das iwann Sinn^^
lg Kai
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