Basis vom Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 04.01.2009 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | Es sei
[mm]A:= \pmat{ -2 & 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 5 \\ -4 & -1 & -3 & -1 & -8} \in M_{4 \times 5} ( \IR) [/mm]
Bestimmen Sie eine Basis des Kernes und eine Basis des Bildes der durch A dargestellten linearen Abbildung. |
Hallo!!
Ich verzweifle grad am Kern und Bild einer Matrix.
Ich habe diese Definitionen:
[mm] ker(f) = \{ v \in V | f(v) = 0 \} [/mm]
[mm] Im(f) = \{w \in W | f(v) = w \} [/mm]
für lin.Abb. [mm]f = V \to W[/mm]
Wenn ich das jetzt richtig verstehe:
[mm] ker(f) = A x = 0 [/mm]
Dann bekomme ich raus:
[mm]\pmat{ -2 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \Rightarrow ker(f) = x_3 \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm]
Ist das auch gleichzeitig die Basis vom Kern??
Über das Bild der lin. Abbildung kann ich sagen:
[mm] Rang f = dim(Im(f))[/mm]
Ich erhalte den Rang f = 4 = dim(Im(f)).
Wie bekomme ich dann die Basis vom Bild??
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> Es sei
> [mm]A:= \pmat{ -2 & 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 5 \\ -4 & -1 & -3 & -1 & -8} \in M_{4 \times 5} ( \IR)[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis des Kernes und eine Basis des
> Bildes der durch A dargestellten linearen Abbildung.
> Hallo!!
>
> Ich verzweifle grad am Kern und Bild einer Matrix.
> Ich habe diese Definitionen:
> [mm]ker(f) = \{ v \in V | f(v) = 0 \}[/mm]
> [mm]Im(f) = \{w \in W | f(v) = w \}[/mm]
Hallo,
ich rechne nichts nach, sondern gehe davon aus, daß deine ZSF stimmt.
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstehe:
> [mm]ker(f) = A x = 0[/mm]
Ja. Im kern sind all diejenign Vektoren, die auf die Null abgebildet werden.
> Dann bekomme ich raus:
> [mm]\pmat{\red{ -2} & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & \red{1} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \red{1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \red{1} } \Rightarrow ker(f) = x_3 \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
Richtig. Der Kern enthalt also alle Vielfachen von [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, [/mm] also ist [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] eine Basis des Kerns.
>
> Ist das auch gleichzeitig die Basis vom Kern??
Es ist [mm] \{x_3 \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }| x_3\in \IR\}=<\pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }> [/mm] der Kern, und [mm] \pmat{ - \bruch{1}{2} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ist eine Basis des kerns.
> Über das Bild der lin. Abbildung kann ich sagen:
> [mm]Rang f = dim(Im(f))[/mm]
>
> Ich erhalte den Rang f = 4 = dim(Im(f)).
Ja.
>
> Wie bekomme ich dann die Basis vom Bild??
Du kannst das so machen: die führenden Elemente der (Nichtnull-)zeilen (rot markiert) stehen in der 1.,2., 4. und 5. Spalte.
Also bilden der 1.,2., 4. und 5. der ursprünglichen (!) Spaltenvektoren eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 So 04.01.2009 | | Autor: | wolle238 |
Super, danke!!
Hast mir echt geholfen! :)
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