Basis und Dimension < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei [mm] U={\vektor{w\\ x \\ y\\ z}|w+x=y+z}\subset IR^{4} [/mm] und [mm] U'=<\vektor{1 \\ 0 \\1\\0},\vektor{1 \\ 2 \\3\\4}\subset IR^{4}. [/mm] Bestimme eine Basis von U [mm] \cap [/mm] U' und die Dimension von U [mm] \cap [/mm] U'. |
Also laut meinen Unterlagen bestimmt man zunächst Ker(A)=U und Ker(A')=U'
Für U' ist das ja leicht , da erhalte ich:
[mm] A'=\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 }, [/mm] also Ker (A')=U' und dim(U')=2
Stimmt das?
Ich weiß jetzt aber nicht ganz, wie man das für U macht...
Ich habs mal so versucht:
w=y+z-x
x=y+z-w
y=w+x-z
z=w+x-y
Also: Basis des kerns: { [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\1 \\ 1},\vektor{0\\ -1 \\1 \\1},\vektor{1 \\ 1 \\0 \\-1},\vektor{1 \\ 1 \\-1\\0} [/mm] }
[mm] A=\pmat{ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & -1 &0}
[/mm]
Ker (A)=U und dim(U)=4
Laut Skript schreibt man dann die Zeilen von A & A' untereinander und berechnet Ker [mm] \vektor{A\\ A'}.
[/mm]
Aber stimmt das was ich bisher geschrieben hab überhaupt?
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Hallo rollroll,
> Sei [mm]U={\vektor{w\\ x \\ y\\ z}|w+x=y+z}\subset IR^{4}[/mm] und
> [mm]U'=<\vektor{1 \\ 0 \\1\\0},\vektor{1 \\ 2 \\3\\4}\subset IR^{4}.[/mm]
> Bestimme eine Basis von U [mm]\cap[/mm] U' und die Dimension von U
> [mm]\cap[/mm] U'.
> Also laut meinen Unterlagen bestimmt man zunächst
> Ker(A)=U und Ker(A')=U'
> Für U' ist das ja leicht , da erhalte ich:
> [mm]A'=\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 },[/mm] also Ker
A' muss doch so lauten:
[mm]A'=\pmat{ \blue{1} & \blue{0} & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (A')=U' und dim(U')=2
>
> Stimmt das?
>
Ja.
> Ich weiß jetzt aber nicht ganz, wie man das für U
> macht...
>
> Ich habs mal so versucht:
> w=y+z-x
> x=y+z-w
> y=w+x-z
> z=w+x-y
>
> Also: Basis des kerns: { [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\1 \\ 1},\vektor{0\\ -1 \\1 \\1},\vektor{1 \\ 1 \\0 \\-1},\vektor{1 \\ 1 \\-1\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & -1 &0}[/mm]
>
> Ker (A)=U und dim(U)=4
>
Das stimmt nicht.
> Laut Skript schreibt man dann die Zeilen von A & A'
> untereinander und berechnet Ker [mm]\vektor{A\\ A'}.[/mm]
>
> Aber stimmt das was ich bisher geschrieben hab überhaupt?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ne, A' lautet [mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 &0 \\ 0 & -2 & 0 & 1} [/mm] --> ker (A')=U'
Wie geht man denn vor, um Ker (A) zu bestimmen?
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Hallo rollroll,
> Ne, A' lautet [mm]\pmat{ -1 & -1 & 1 &0 \\ 0 & -2 & 0 & 1}[/mm] -->
> ker (A')=U'
>
> Wie geht man denn vor, um Ker (A) zu bestimmen?
Löse die Gleichung
[mm]w+x=y+z[/mm]
z.B. nach w auf
und setzt [mm]x=\alpha, \ y=\beta, \ z=\gamma[/mm]
Schreibe dann die Lösung in dieser Form:
[mm]\pmat{w\\ x\\ y\\ z}=\alpha \pmat{... \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\beta \pmat{... \\ 0 \\ 1 \\ 0}+\gamma \pmat{... \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
$ [mm] \pmat{w\\ x\\ y\\ z}=\alpha \pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\beta \pmat{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+\gamma \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ ?
mit w=y+z-x
Wie geht's dann weiter? Wie bestimmt man die basis des kerns und die Dimension?
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Hallo rollroll,
> [mm]\pmat{w\\ x\\ y\\ z}=\alpha \pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\beta \pmat{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+\gamma \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mit w=y+z-x
>
> Wie geht's dann weiter? Wie bestimmt man die basis des
> kerns und die Dimension?
Im Kern sind alle Vektoren, die sich als Linearkombination dieser 3 Vektoren schreiben lassen. Daher ist die Dimension des Kerns 3.
Somit lautet der Kern so:
[mm]< \pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\pmat{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} >[/mm]
Dies ist zugleich eine Basis des Kerns.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, dann haben wir jetzt:
[mm] A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und
[mm] A'=\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1 }
[/mm]
und damit muss man Ker [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1} [/mm] bestimmen und erhält U [mm] \cap [/mm] U'
Wie berechnet man denn dim(U [mm] \cap [/mm] U')?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 21.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Stimmt dieses Vorgehen (s. vorheriger Post)?
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Hi,
Die Matrix "A", die du angegeben hast, ist nicht die Matrix A, die du suchst, sondern Kern(U).
Du musst nämlich das A, was du gefunden hast, noch transponieren und dann die Parameterisierung anwenden.
Bzw. Du hast mit dem A die Matrix von U gebildet, mit den drei Basisvektoren als Spalten.
Schreibst du jetzt aber die Vektoren als Zeilen, entspricht das ja der Transposition B. Bringe das auf redZSF, nutze Parameterisierung und du bekommst die Basis von Kern(B). Die Vektoren dieser Basis bestehen aus 4 Komponenten a,b,c,d. Schreibst du sie mit den zugehörigen Faktoren in eine Matrix, die a,b,c,d als Spalten hat, so bekommst du A.
Sofern ich selbst keinen Fehler gemacht habe, müsste das insofern stimmen. Ich hoffe, jemand gibt dir noch eine zweite Meinung zu deinem Problem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Also ich hab einfach den Algorithmus angewandt, den wir aufgeschrieben haben:
Um den schitt von 2 UR zu bestimmen, braucht man u & U' durch Gleichungen, U=Ker(A), U'=Ker(A'), dann schreibt man die zeilen von A & A' untereinander , Ker [mm] \vektor{A \\ A'} [/mm] sind vektoren, die alle diese Gleichung erfüllen, also U [mm] \cap [/mm] U'.
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> Also ich hab einfach den Algorithmus angewandt, den wir
> aufgeschrieben haben:
> Um den schitt von 2 UR zu bestimmen, braucht man u & U'
> durch Gleichungen, U=Ker(A), U'=Ker(A'), dann schreibt man
> die zeilen von A & A' untereinander , Ker [mm]\vektor{A \\
A'}[/mm]
> sind vektoren, die alle diese Gleichung erfüllen, also U
> [mm]\cap[/mm] U'.
Hallo,
s. meine andere Antwort: Deine Matrix A erfüllt nicht die an sie gestellte Bedingung.
Gruß v. Angela
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> Ok, dann haben wir jetzt:
> [mm]A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> und
> [mm]A'=\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> und damit muss man Ker [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1}[/mm]
> bestimmen und erhält U [mm]\cap[/mm] U'
Hallo,
und wie lautet der Kern?
Dann können wir ja mal gucken, ob es paßt.
> Wie berechnet man denn dim(U [mm]\cap[/mm] U')?
Indem man eine Basis bestimmt.
Gruß v. Angela
>
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> Ok, dann haben wir jetzt:
> [mm]A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> und
> [mm]A'=\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
der Algorithmus, den du nennst, ist mir unbekannt - ich hab' jetzt auch noch nicht genauer über ihn nachgedacht.
EDIT: ich hab' ihn eben aber mal ausprobiert, und er scheint zu funktionieren.
Wenn ich es recht verstehe, war doch zunächst eine Matrix A zu bestimmen, deren Kern U ist, richtig?
Es war dimU=3,
es ist aber dimKernA=1.
Da kann also irgendetwas nicht stimmen.
Gruß v. Angela
>
> und damit muss man Ker [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1}[/mm]
> bestimmen und erhält U [mm]\cap[/mm] U'
>
> Wie berechnet man denn dim(U [mm]\cap[/mm] U')?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
D.h. der fehler liegt dann wohl darin , dass die Matrix A falsch ist. bei A' bin ich mir eigentlich sicher, dass es stimmt, ich will/soll A so bestimmen dass Ker(A)=U
Hier nochmal U={ [mm] \vektor{w\\ x \\ y \\z}| [/mm] w+x=y+z} [mm] \subset IR^{4}
[/mm]
dann hatte MathPower geschrieben, ich soll w+x=y+z nach w auflösen --> w=y+z-x und dann [mm] \alpha [/mm] = x, [mm] \beta [/mm] = y und [mm] \gamma [/mm] = z setzen, sodass
[mm] \vektor{w\\ x \\ y \\z}= \alpha \vektor{-1 \\ 0 \\0 \\0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{1 \\ 0 \\1 \\0}+ \gamma \vektor{1 \\ 0 \\0 \\1}
[/mm]
Und damit [mm] A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 } [/mm]
Steckt vielleicht in dieser überlegung ein fehler?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> D.h. der fehler liegt dann wohl darin , dass die Matrix A
> falsch ist. bei A' bin ich mir eigentlich sicher, dass es
> stimmt, ich will/soll A so bestimmen dass Ker(A)=U
>
> Hier nochmal U={ [mm]\vektor{w\\
x \\
y \\
z}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
w+x=y+z} [mm]\subset IR^{4}[/mm]
>
> dann hatte MathPower geschrieben, ich soll w+x=y+z nach w
> auflösen --> w=y+z-x und dann [mm]\alpha[/mm] = x, [mm]\beta[/mm] = y und
> [mm]\gamma[/mm] = z setzen, sodass
> [mm]\vektor{w\\
x \\
y \\
z}= \alpha \vektor{-1 \\
\red{1} \\
0 \\
0}[/mm] + [mm]\beta \vektor{1 \\
0 \\
1 \\
0}+ \gamma \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> Und damit [mm]A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Steckt vielleicht in dieser überlegung ein fehler?
Hallo,
die Matrix ist halt verkehrt aufgestellt. Es soll ja Kern A =U sein.
Das bedeutet, daß A eine Matrix vom Rang 1 sein muß.
Kennst Du den "-1-Trick" zur Bestimmung des Kerns einer Matrix? (Lies ihn ggf nach.)
Wenn ich den "rückwärts" anwende, bekome ich die Matrix A=(1&1&-1&-1), welche tut, was sie soll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Do 22.12.2011 | | Autor: | s9mamajl |
Hi,
Du hast recht, dass dim(U) = 3
Aber ich glaube, dass es hier zu einem kleinen Missverständnis gekommen ist.
Das angegebene Verfahren gibt nicht Kern(A) raus, mit Kern(A) = U, sondern lediglich nur das A, mit dim(A) = 1.
Das war das, was zu suchen war.
Bildet man von diesem A den Kern, so bekommt man U heraus, i.e. Kern(A) = U. Dieses A ist bei mir:
A = [mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 & 1 }
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 22.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, s9mamajl's Weg hab ich verstanden, der liert ja auch dasselbe wie Angelas weg.
Dann bestimme ich [mm] Ker\vektor{A \\ A'}
[/mm]
also [mm] Ker\pmat{ -1 & -1 & 1 & 1 \\-1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 }
[/mm]
auf ZSF gebracht ergibt sich:
[mm] \pmat{ 1 & ´-1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -0,5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Da diese matrix Rang 3 hat, kann man dann folgern, dass dim (U n U')=3?
Also Basis des kerns: { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\1 \\0} [/mm] }
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Hallo,
ja, das ist richtig.
Etwas deprimierend mag es für Dich sein, daß man das Ergebnis sehr schnell hätte bekommen können:
wenn man die Basis von U hat, sieht man, daß [mm] U+U'=\IR^4.
[/mm]
Mit der Dimensionsformel für Summe und Schnitt bekommt man dann [mm] dim(U\cap [/mm] U')=1, und wenn man sich nun die beiden Basen anschaut, sieht man gleich, welcher Vektor den Schnitt aufspannt...
Die Rechnerei ist natürlich trotzdem nicht vergebens: man möchte sowas ja auch in weniger offensichtlichen Fällen lösen können.
Gruß v. Angela
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Pass auf: dein [mm] dim(U\cap [/mm] U') = 3 kann nicht richtig sein, da ja der Kern [mm] \vektor{A \\ A'} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 } [/mm] und das ja gleich [mm] U\cap [/mm] U' ist.
D.h. [mm] dim(U\cap [/mm] U') = 1.
Das macht auch Sinn, weil beim Schnitt zweier Mengen, die neue Menge kleiner/gleich der kleinsten Menge des Schnittes ist.
Sofern ich mich nicht irre, müsste das dann so richtig sein.
MfG
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