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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 So 06.12.2009 | | Autor: | JanaM. |
| Aufgabe | Geben Sie für folgende R-Vektorräume V jeweils eine Basis an, die die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2}enthält [/mm] und begründen Sie ihre Aussage:
(a) V=R²; [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 1}; v_{2} \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
(b) V=R³; [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}; v_{2}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
(c) [mm] V=R^{5}; v_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}; v_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
(a) hier hab ich die Basis bei den gegebenen Vektoren gelassen, da ja die Dimension im R² 2 ist, gibt es 2 Vektoren, die eine Basis bilden... und da die Einheitsvektoren durch diese beiden darstellbar sind, ist es ein Erzeugendensystem und eine Basis ist ja ein minimales Erzeugendensystem, was so der Fall ist.
(b) hier habe ich durch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ergänzt. Im R³ ist die Dimension 3, also brauche ich 3 Vektoren. Den Vektor habe ich gewählt, da ich eine Zahl an der "untersten" Stelle brauchte... auch die Einheitsvektoren lassen sich mittels meinem hinzugefügten Vektor darstellen, wodurch es ja auch wieder ein Erzeugendensystem wäre... also letztenendes wieder eine Basis des R³.
(c) ... hier hab ich rumprobiert. Ich weiß, dass eine Basis im [mm] R^{5} [/mm] aus 5 Vektoren bestehen muss, da die Dimension ja 5 ist.
Meine Vektoren: [mm] a=\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, b=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] und [mm] c=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
gewählt habe ich diese weil: (ich bezeichne folgend den ersten Vektor aus der Aufgabenstellung mit x, den zweiten mit y)
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}= [/mm] x-a
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}= [/mm] y+a-b
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}= [/mm] 2y-a+2b
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}=2y-a+b
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}=c
[/mm]
damit wären die einheitsvektoren darstellbar und das ganze ein minimales Erzeugendensystem und eine Basis des [mm] R^{5}
[/mm]
Natürlich würde ich besonders zu (a) und (b) ausführlicher antworten, aber ich wollte nur meinen Lösungsweg deutlich machen...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich so vorgehen kann bzw. ob ich irgendwo falsch überlegt habe.
Lg. Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
grundsätzlich nur mal kurz was zu Base, weil du da immer mit dem minimalen Erzeugendensystem argumentierst. Wenn du die Dimension bereits gegeben hast, also hier 2, 3 und 5, dann besteht eine Basis immer aus genau so vielen Basisvektoren, denn das ist gerade die Definition der Basis. Da eine Basis eine maximal linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums ist, liegt dann auch immer ein minimales Erzeugendensystem vor. Die beiden Aussagen sind äquivalent.
Aber nun mal zu deinen Basisvektoren. So wie ich das sehe, hast du mit deiner Wahl in allen drei Fällen recht. Wenn du überprüfen möchtest, ob deine gewählten Vektoren wirklich eine Basis bilden, dann schreibe sie am besten alle in eine Matrix und berechne die Determinante. Diese muss ungleich 0 sein, dann sind deine Vektoren alle (paarweise) linear unabhängig und das mit der Basis folgt sofort.
Das ist eigentlich der schnellste Weg, um das zu überprüfen.
Gruß Sleeper
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