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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basis im \IR^3
Basis im \IR^3 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Basis im \IR^3: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Mi 27.11.2013
Autor: Bindl

Aufgabe 1
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -3} \vektor{3 \\ -3 \\ 2} \vektor{1 \\ -3 \\ -3} \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-1 \\ -3 \\ 0} \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} \vektor{-2 \\ 0 \\ 2} \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} \vektor{-2 \\ 0 \\ -2} \vektor{3 \\ 1 \\ 1} \vektor{0 \\ -2 \\ 3} \vektor{-3 \\ 3 \\ 1} [/mm]

Gibt es unter den 12 Vektoren eine Basis im [mm] \IR^3 [/mm] ?

Aufgabe 2
Gibt es eine zweite Gruppe, die eine Basis im [mm] \IR^3 [/mm] bildet ?

Hi zusammen,

kann mir jemand erklären wie man bei Vektoren eine Basis erkennt oder auf die Lösung einer solchen Aufgabe komme ?
In unseren Skript gibt es nur eine Definition ohne Beispiele und wie man sieht habe die Definition nicht wirklich verstanden.

Danke für die Hilfe im voraus

        
Bezug
Basis im \IR^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Mi 27.11.2013
Autor: angela.h.b.


> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ -3} \vektor{3 \\ -3 \\ 2} \vektor{1 \\ -3 \\ -3} \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \vektor{-1 \\ -3 \\ 0} \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} \vektor{-2 \\ 0 \\ 2} \vektor{-3 \\ -2 \\ -1} \vektor{-2 \\ 0 \\ -2} \vektor{3 \\ 1 \\ 1} \vektor{0 \\ -2 \\ 3} \vektor{-3 \\ 3 \\ 1}[/mm]

>

> Gibt es unter den 12 Vektoren eine Basis im [mm]\IR^3[/mm] ?
> Gibt es eine zweite Gruppe, die eine Basis im [mm]\IR^3[/mm] bildet
> ?
> Hi zusammen,

>

> kann mir jemand erklären wie man bei Vektoren eine Basis
> erkennt oder auf die Lösung einer solchen Aufgabe komme ?

Hallo,

man muß dafür wissen, daß der [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension 3 hat.
Eine jede Basis besteht also aus drei Vektoren.
Weiter muß man wissen, daß Basisvektoren linear unabhängig sind.

Gelingt es Dir also, hier irgendelche drei linear unabhängige Vektoren zu finden, so hast Du eine Basis des [mm] \IR^3. [/mm]

Du kannst auf diese Weise yum Yiel kommen>
nimm einen vom Nulllvektor verschiedenen Vektor.
Nimm einen zweiten, der kein Vielfaches von ihm ist, dazu.

Jetzt nimm einen dritten dazu und prüfe die drei  auf lineare Unabhängigkeit (Wie geht das? Definition. Skript.)

Sind sie linear unabhängig: freuen
Sind sie nicht linear unabhängig: neuen dritten versuchen.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Basis im \IR^3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Mi 27.11.2013
Autor: Bindl

Linear Unabhängigkeit gilt bei a=b=c=0:

[mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1} \vektor{3 \\ -3 \\ 2} \vektor{1 \\ -3 \\ -3} [/mm]

Also:
0 = 0a + 3b + 1c         -> c = -3b   in zweite Gleichung
0 = 2a - 3b - 3c           -> a = -3b   c & B in dritte Gleichung
0 = -3a + 2b - 3c         -> 0 = 20b also b=0

Also sind diese drei linear unabhängig, richtig ?

Bezug
                        
Bezug
Basis im \IR^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 27.11.2013
Autor: fred97


> Linear Unabhängigkeit gilt bei a=b=c=0:
>  
> [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 1} \vektor{3 \\ -3 \\ 2} \vektor{1 \\ -3 \\ -3}[/mm]

Soll der erste Vektor nicht so lauten: [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -3}. [/mm]

Das würde nämlich prima zu Deinem LGS passen !

>  
> Also:
>  0 = 0a + 3b + 1c         -> c = -3b   in zweite Gleichung

>  0 = 2a - 3b - 3c           -> a = -3b   c & B in dritte

> Gleichung
>  0 = -3a + 2b - 3c         -> 0 = 20b also b=0

>  
> Also sind diese drei linear unabhängig, richtig ?

Ja

FRED


Bezug
                                
Bezug
Basis im \IR^3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Mi 27.11.2013
Autor: Bindl

Hi,

ja ich habe den Vektor flasch geschrieben.

Danke für die Hilfe

Bezug
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