Basis eines Untervektorraumes < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 20.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | sei { ( x[1], x[2], x[3], x[4], x[5] ) [mm] IR^4 [/mm] : x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 und 2x[1] + x[2] + x[3] = 0 }
Aufgabe:
Geben sie für folgende Vektorräume jeweils eine Basis an |
Halli, Hallo
habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
1.Frage: hieße die Aufgabe wiefolgt:
sei { ( x[1], x[2], x[3], x[4],) [mm] IR^4 [/mm] : x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 }
könnte ich diese dann wiefolgt lösen:
x[1] = -3x[2] - 2x[4] => möglicher Vektor ( 0,-2,0,3)
oder
x[4] = -0.5x[1] - 1.5x[2] => Vektor: (-3,1,0,0)
oder
x[2] = -1/3 x[1] - 2/3 x[4] => Vektor: (-2,0,0,1)
und
Vektor (0,0,1,0)
nun noch schauen welche Vektoren l.a. diese rauswerfen und fertig ist die Basis => 3 l.u Vektoren
2. Frage: heißt die Frage nun { ( x[1], x[2], x[3], x[4], x[5] ) [mm] IR^4 [/mm] : x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 und 2x[1] + x[2] + x[3] = 0 }, also wie oben gestellt
dann erstelle ich erstmal ein Gleichungssystem das wiefolgt aussieht:
1 3 0 2 | 0 I
2 1 1 0 | 0 II
nun noch auf zeilenstufenform brignen:
I *-2 => erste mit 2. Zeile addieren ergibt
1 3 0 2 | 0 I
0-5 1 -4| 0 II
nun kann ich ja die 2. Zeile nach einem beliebigen x[i] i{1,...,4} auflösen
(Frage: nur nach einem x[i] oder nach x[i] )
also z.B x[3] = 5x[2] + 4x[4], diese setzen wir in die erste Zeile ein, das ergibt
1x[1] + 3x[2] + 0(5x[2] + 4x[4]) + 2x[4] = 0
<=> 1x[1] + 3x[2] + 0 + 2x[4] = 0 (damit fällt die 2. Zeile aber irgendwie wieder raus)
irgendwas mach ich falsch :((
wäre super lieb wenn ihr mir erklären/vorrechnen könnt wie man da eine Basis bekommt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ( nicht exakt dieselbe Frage)
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/216147,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 20.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie die Frage gestellt ist sind die x[i] doch Vektoren und nicht Komponenten von Vektoren.
Dann musst du deine Basis aus Linearkomb. der x[i] herstellen.
Vielleicht solltest du die Orginalaufgabe posten. was du hier und im anderen forum machst scheint mir nichts mit der soweit gestellten Aufgabe zu tun zu haben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 20.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | Geben sie für folgenden Vektorraum jeweils eine Basis an:
U = { ( x[1], x[2], x[3], [mm] x[4])\in\IR^4 [/mm] : x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 und 2x[1] + x[2] + x[3] = 0 } |
U ist ja nun ein Untervektorraum des [mm] \IR^4 [/mm] der die Vektoren enthält die folgende Bedingungen erfüllen:
x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 und 2x[1] + x[2] + x[3] = 0
jetzt sind ja die x[i] keine Vektore sonder nur Komponenten von Vektoren, oder nicht?
die Lösung ist : (3,-1,-5,0) und (-1,1,1,-1) bilden eine Basis des UVR
ich weiß nur nicht wie man daraufkommt
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> Geben sie für folgenden Vektorraum jeweils eine Basis an:
> U = [mm] $\{ ( x[1], x[2], x[3], x[4])\in\IR^4$ : $\ x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0$ und $\ 2x[1] + x[2] + x[3] = 0\}$ [/mm]
> U ist ja nun ein Untervektorraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] der die Vektoren
> enthält die folgende Bedingungen erfüllen:
> x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 und 2x[1] + x[2] + x[3] = 0
>
> jetzt sind ja die x keine Vektoren sondern nur Komponenten
> von Vektoren, oder nicht?
> die Lösung ist : (3,-1,-5,0) und (-1,1,1,-1) bilden eine
> Basis des UVR
"Die" Lösung gibt es natürlich nicht !
> ich weiß nur nicht wie man daraufkommt
Dann ist die Aufgabe wohl einfacher als wir alle
dachten. Als zusätzliche Vereinfachung schlage
ich vor, die 4 Koordinaten mit a,b,c,d zu bezeichnen.
Damit ist
[mm]\ U=\{(a,b,c,d)\in\IR^4\ |\ a+3b+2d=0 \wedge 2a+b+c=0\}[/mm]
Basen für U gibt es natürlich viele; es genügt,
zwei linear unabhängige Vektoren zu finden,
von welchen jeder die beiden Gleichungen
erfüllt. Du könntest zum Beispiel wählen:
c=1 und d=0 für einen ersten Basisvektor
(zugehörige a und b aus den Gleichungen berechnen !)
c=0 und d=1 für den zweiten
(ebenfalls a und b dazu berechnen)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Sa 20.12.2008 | | Autor: | farnold |
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:36 Sa 20.12.2008 | | Autor: | farnold |
/*
*Frage hat sich geklärt
*/
heißt das nun das:
bei meinem anderen Beispiel:
sei { ( x[1], x[2], x[3], x[4]) [mm] IR^4 [/mm] : x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 }
der folgende Rechenweg doch richtig/möglich ist:
x[1] = -3x[2] - 2x[4] => möglicher Vektor ( 0,-2,0,3)
oder
x[4] = -0.5x[1] - 1.5x[2] => Vektor: (-3,1,0,0)
oder
x[2] = -1/3 x[1] - 2/3 x[4] => Vektor: (-2,0,0,1)
und
Vektor (0,0,1,0)
Diese 4 Vektoren auf l.u. überprüfe, etc. doch richtig?
Zu:
$ \ [mm] U=\{(a,b,c,d)\in\IR^4\ |\ a+3b+2d=0 \wedge 2a+b+c=0\} [/mm] $
woher weißt du das es genau 2 l.u. Vektoren gibt?
gibt es um festzustellen wie eine mögliche Basis aussieht keinen algorithmus wie man da allgemein vorgehen kann (es könnte ja sein das noch eine 3. Bedinung erfüllt sein muss)?
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hallo farnold,
bei deiner Frage in deinem allerersten post hat mich
vor allem das x[5] irritiert, das dort noch herumgeisterte
> heißt das nun dass:
>
> bei meinem anderen Beispiel:
> sei { ( x[1], x[2], x[3], [mm] x[4])\in\IR^4 [/mm] : x[1] + 3x[2] + 2x[4] = 0 }
also nur eine lineare Bedingung im [mm] \IR^4 [/mm] : in diesem
Fall wäre die Erfüllungsmenge ein dreidimensionaler
Unterraum, also 3 Basisvektoren nötig
> der folgende Rechenweg doch richtig/möglich ist:
> x[1] = -3x[2] - 2x[4] => möglicher Vektor ( 0,-2,0,3)
> oder
> x[4] = -0.5x[1] - 1.5x[2] => Vektor: (-3,1,0,0)
> oder
> x[2] = -1/3 x[1] - 2/3 x[4] => Vektor: (-2,0,0,1)
> und
> Vektor (0,0,1,0)
>
> Diese 4 Vektoren auf l.u. überprüfen, etc. doch richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
aber Vorsicht: höchstens 3 dieser 4 Vektoren können
linear unabhängig sein !
>
> Zu:
> [mm]\ U=\{(a,b,c,d)\in\IR^4\ |\ a+3b+2d=0 \wedge 2a+b+c=0\}[/mm]
>
> woher weißt du dass es genau 2 l.u. Vektoren gibt?
Da die beiden einschränkenden linearen Gleichungen
linear unabhängig sind, wird die Dimension des Raumes
von 4 um 2 erniedrigt. Für den Lösungsraum bleibt also
die Dimension 2.
> gibt es um festzustellen wie eine mögliche Basis aussieht
> keinen algorithmus wie man da allgemein vorgehen kann
> (es könnte ja sein dass noch eine 3. Bedinung erfüllt
> sein muss)?
Da ich keinen "Standard"-Algorithmus kenne, überlasse
ich die Antwort auf diese Frage lieber jemand anderem ...
Es gibt aber wie schon gesagt keine eindeutig bestimmbare
Lösung. Es gibt unendlich viele mögliche Basen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 So 21.12.2008 | | Autor: | farnold |
> Da die beiden einschränkenden linearen Gleichungen
> linear unabhängig sind, wird die Dimension des Raumes
> von 4 um 2 erniedrigt. Für den Lösungsraum bleibt also
> die Dimension 2.
axo, ja klar, jetzt seh ichs auch, ich kann ja bei jeder Gleichung eine Komponente in Abhängigkeit der anderen beiden darstellen,jede Gleichung hat ergo max. die Dimension 2, habe ich jeweil die Basen der beiden Gleichungen, so bestimme ich eifnach den Durchschnitt/schnitt^^
vielen dank! :)
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