Basis eines Kerns < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 &1 \\
1 & 1 & 0 & 1 &1 \\
1 & 1 & 1 & 1 &1
\end{pmatrix} \in \IF_{2}^{3x5}.
[/mm]
Gib eine Basis des Unterraums {x [mm] \in \IF_{2}^{5x1} [/mm] : Ax = 0} (i.e. des Kerns von A) an. |
Als Kern habe ich folgende Lösung:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 &1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 1 &0
\end{pmatrix}
[/mm]
Und nach auflösen habe ich folgende Vektoren, die den Unterraum (also den Kern) aufspannen können:
(1, 1, 0, 0 , 0), (1, 0, 0, 0 , 1), (0,1, 0, 0 , 1)
In der Musterlösung wurden jedoch folgende Vektoren als Basis für A angegeben:
[mm] \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
[/mm]
Es wäre toll, wenn mir jemand verraten könnte, ob jede beliebige Konstellation der gefundenen Vektoren als Basis des kerns fungieren können, oder warum ausgerechnet o.a. Lösung angegeben wurde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bei den von dir gefundenen Vektoren gilt:
[mm]\text{eins} \, + \, \text{zwei} \ = \ \text{drei}[/mm]
Was heißt das?
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Das der erste und zweite Vektor als Angabe der Basis genügen. Allerdings stünde es mir dann doch auch frei, die Vektoren 2 und 3 zu wählen, da v2+v3 = v1.
Ich denke, es geht hier um die Begriffsbestimmung lineare Unabhängigkeit, richtig? Wenn ja, auf welchem Weg ermittle ich die l.u. der gefundenen Vektoren (und weiß somit welcher Vektor nicht als Basisvektor dazugehört)?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Di 25.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wie schon gesagt wurde : du hast eine Erzeugendensystem des KErns gefunden und musst jetzt noch einen linear abhängigen Vektor streichen um eine Basis zu bekommen.
Wie du richtig festgestellt hast, ist es HIER egal, welchen Vektor du streichst, denn jeder der Vektoren ist als summe der beiden anderen darstellbar.
(Aber es ist doch auch klar, dass eine Basis nicht eindeutig ist, oder?)
hier konnte man das durch Hinsehen lösen - wenn es allgemeiner oder komplizierter ist, kann man es trotzdem auch systematisch machen.
Wenn du wissen willst, wie - das habe ich HIER schonmal geschrieben..
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Mukkelmann |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! :)
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