Basis einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie je eine Basis von Kern und Bild der durch folgende Matrix beschriebenen Abbildung:
[mm] \pmat{ 3 & -6 & -5 & -3 \\ 6 & -9 & -6 & -3 \\ -5 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 6 & 8 & 6 } [/mm] |
Hallo Community!
Ich sitzte gerade über obiger Aufgabe und weiß nicht so recht weiter. Bisher habe ich mir überlegt, dass ja der Kern einer Abbildung der Teil der Elemente ist, die auf 0 bzw. den Nullvektor abgebildet werden.
Also habe ich die Matrix wie ein homogeenes Gleichungssystem behandelt und nach einiger Rechnerei folgende Basis ermittelt
B= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
War das bisherige Vorgehen korrekt? Wenn ja, wie ist nun der Ansatz für das Finden einer Basis des Bildes?
Danke schon im Voraus für die Hilfe 
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Hallo Sogge93,
> Ermitteln Sie je eine Basis von Kern und Bild der durch
> folgende Matrix beschriebenen Abbildung:
>
> [mm]\pmat{ 3 & -6 & -5 & -3 \\ 6 & -9 & -6 & -3 \\ -5 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 6 & 8 & 6 }[/mm]
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> Hallo Community!
>
> Ich sitzte gerade über obiger Aufgabe und weiß nicht so
> recht weiter. Bisher habe ich mir überlegt, dass ja der
> Kern einer Abbildung der Teil der Elemente ist, die auf 0
> bzw. den Nullvektor abgebildet werden.
> Also habe ich die Matrix wie ein homogeenes
> Gleichungssystem behandelt und nach einiger Rechnerei
> folgende Basis ermittelt
>
> B= [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
Der erste Basisvekor des Kerns stimmt nicht.
> War das bisherige Vorgehen korrekt? Wenn ja, wie ist nun
> der Ansatz für das Finden einer Basis des Bildes?
>
Prüfe welche Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
> Danke schon im Voraus für die Hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
Notiz an mich selbst: Beim Abschreiben der Matrizen auf Vorzeichen achten :-D
Der Basisvektor ist demnach [mm] \vektor{ -1 \\ -4/3 \\ 1 \\ 0} [/mm] .
Zum Überprüfen der Spalten kann ich ja auch die bereits umgeformte Matrix verwenden, in diesem Fall [mm] \pmat{ 3 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] , oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Sa 26.11.2011 | | Autor: | Sogge93 |
Es sind max. zwei lin. unabhängige Vektoren zu finden. Dies stimmt ja auch mit der Dimensionsformel überein. Kann ich jetzt irgendwelche zwei der vier Vektoren als Basis verwenden?
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Hallo Sogge93,
> Notiz an mich selbst: Beim Abschreiben der Matrizen auf
> Vorzeichen achten :-D
>
> Der Basisvektor ist demnach [mm]\vektor{ -1 \\ -4/3 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zum Überprüfen der Spalten kann ich ja auch die bereits
> umgeformte Matrix verwenden, in diesem Fall [mm]\pmat{ 3 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , oder?
>
Natürlich, ja.
Gruss
MathePower
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