Basis des R^x < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] $\left\{ f_x \right\}_{x\inX}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^x$ [/mm] sind, wo
[mm] $f_{x}(y)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{für} y=x\\ 0, & \mbox{für} y\ne x \end{matrix}\right\ [/mm] |
Die Funktion ist ja gerade 1 für jedes x in X als wenn ich mir das räumlich vorstelle heißt das es gibt für jede Dimesion n mit n= anzahl der Elemente in X genau n Funktionen die jeweils 1 sind und somit für jede Richting des Raumes eine Funktion. Darus kann man ja dan schliesen das diese N Funktionen der Raum [mm] $\IR^x$ [/mm] aufspannen und das sie Linear Unabhängig sind.
Ist mein Gedankengang soweit richtig? Und wie schreibe ich das Mathematisch korekt auf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Funktion
> [mm]\left\{ f_x \right\}_{x\inX}[/mm] eine Basis von [mm]\IR^X[/mm] sind, wo
>
> [mm]f_{x}(y)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{für} y=x\\ 0, & \mbox{für} y\ne x \end{matrix}\right\[/mm]
>
> Die Funktion ist ja gerade 1 für jedes x in X
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist richtig. Und an den anderen Stellen =0.
Der Rest dessen, was Du schreibst, ist etwas esoterisch, und ich kann nicht über falsch und richtig entscheiden.
Wenn Du zeigen willst, daß die [mm] f_{x_i} [/mm] eine des [mm] \IR^X [/mm] sind, mußt Du vorrechnen, daß Du jede Funktion aus [mm] \IR^X [/mm] als Linearkombination der die [mm] f_{x_i} [/mm] schreiben kannst, und daß die die [mm] f_{x_i} [/mm] linear unabhängig sind.
Zum Erzeugendensystem: Sei [mm] X:=\{x_1,...,x_n},
[/mm]
und sei [mm] f\in \IR^X.
[/mm]
Dann gibt es [mm] y_1,...,y_n\in \IR [/mm] mit
[mm] f(x_1)=y_1
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f(x_n)=y_n. [/mm]
Und nun überleg Dir, wie Du die [mm] \lambda_i [/mm] nehmen mußt, wenn Du f als
[mm] f=\lambda_1f_{x_1}+...+\lambda_nf_{x_n}
[/mm]
schreiben möchtest.
Danach dann die lineare Unabhängigkeit.
LG Angela
> als wenn ich
> mir das räumlich vorstelle heißt das es gibt für jede
> Dimesion n mit n= anzahl der Elemente in X genau n
> Funktionen die jeweils 1 sind und somit für jede Richting
> des Raumes eine Funktion. Darus kann man ja dan schliesen
> das diese N Funktionen der Raum [mm]\IR^x[/mm] aufspannen und das
> sie Linear Unabhängig sind.
> Ist mein Gedankengang soweit richtig? Und wie schreibe ich
> das Mathematisch korekt auf?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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[mm] f(x_1)=y_1 [/mm]
[mm] \vdots [/mm]
[mm] f(x_n)=y_n> [/mm] > Sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Funktion
> > [mm]\left\{ f_x \right\}_{x\inX}[/mm] eine Basis von [mm]\IR^X[/mm] sind,
> wo
> >
> > [mm]f_{x}(y)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{für} y=x\\ 0, & \mbox{für} y\ne x \end{matrix}\right\[/mm]
>
> >
> > Die Funktion ist ja gerade 1 für jedes x in X
>
> Hallo,
>
> .
>
> Das ist richtig. Und an den anderen Stellen =0.
>
> Der Rest dessen, was Du schreibst, ist etwas esoterisch,
> und ich kann nicht über falsch und richtig entscheiden.
>
> Wenn Du zeigen willst, daß die [mm]f_{x_i}[/mm] eine des [mm]\IR^X[/mm]
> sind, mußt Du vorrechnen, daß Du jede Funktion aus [mm]\IR^X[/mm]
> als Linearkombination der die [mm]f_{x_i}[/mm] schreiben kannst, und
> daß die die [mm]f_{x_i}[/mm] linear unabhängig sind.
>
>
> Zum Erzeugendensystem: Sei [mm]X:=\{x_1,...,x_n},[/mm]
>
> und sei [mm]f\in \IR^X.[/mm]
>
> Dann gibt es [mm]y_1,...,y_n\in \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x_1)=y_1[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f(x_n)=y_n.[/mm]
meinst du da mit $f$ die [mm] $f_x$ [/mm] oder sind die [mm] $f(x_1)$ ...$f(x_n)$ [/mm] zusammen [mm] $f_x$?
[/mm]
>
>
> Und nun überleg Dir, wie Du die [mm]\lambda_i[/mm] nehmen mußt,
> wenn Du f als
>
> [mm]f=\lambda_1f_{x_1}+...+\lambda_nf_{x_n}[/mm]
müssten die [mm] \lambda [/mm] nicht gerade all die [mm] $y\ne{x} [/mm] sein?
>
> schreiben möchtest.
>
> Danach dann die lineare Unabhängigkeit.
>
> LG Angela
>
>
> > als wenn ich
> > mir das räumlich vorstelle heißt das es gibt für
> jede
> > Dimesion n mit n= anzahl der Elemente in X genau n
> > Funktionen die jeweils 1 sind und somit für jede
> Richting
> > des Raumes eine Funktion. Darus kann man ja dan
> schliesen
> > das diese N Funktionen der Raum [mm]\IR^x[/mm] aufspannen und
> das
> > sie Linear Unabhängig sind.
> > Ist mein Gedankengang soweit richtig? Und wie schreibe
> ich
> > das Mathematisch korekt auf?
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich glaube, Du hast die Aufgabe nicht richtig verstanden.
Wir machen das jetzt mal konkret für eine Menge X.
Es sei [mm] X:=\{a,b,c,d\}.
[/mm]
[mm] \IR^X [/mm] ist die Menge aller Funktionen, welche aus der Menge X in die Menge [mm] \IR [/mm] abbilden.
Ein Beispiel für eine solche Funktion wäre etwa die Funktion
[mm] g:X\to \IR [/mm] mit
g(a):=5
[mm] g(b):=\wurzel{3}
[/mm]
g(c):=0
g(d):=-4
In Deiner Aufgabe wird nun behauptet, daß die 4 Funktionen [mm] f_a,f_b, f_c, f_d [/mm] eine Basis von [mm] \IR^X [/mm] bilden.
Die Funktionen sind definiert durch
[mm] f_a(a):=1
[/mm]
[mm] f_a(b):=0
[/mm]
[mm] f_a(c):=0
[/mm]
[mm] f_a(d):=0
[/mm]
[mm] f_b(a):=0
[/mm]
[mm] f_b(b):=1
[/mm]
[mm] f_b(c):=0
[/mm]
[mm] f_b(d):=0
[/mm]
[mm] f_c(a):=0
[/mm]
[mm] f_c(b):=0
[/mm]
[mm] f_c(c):=1
[/mm]
[mm] f_c(d):=0
[/mm]
[mm] f_d(a):=0
[/mm]
[mm] f_d(b):=0
[/mm]
f_adc):=0
[mm] f_d(d):=1
[/mm]
Wie kannst Du nun die Funktion g mithilfe der Funktionen [mm] f_a,f_b, f_c, f_d [/mm] schreiben.
Es müssen Faktoren gefunden werden, so daß
[mm] g=\lambda_af_a+\lambda_bf_b+\lambda_cf_c+\lambda_df_d,
[/mm]
dh. für alle [mm] x\in [/mm] X muß gelten
[mm] g(x)=(\lambda_af_a+\lambda_bf_b+\lambda_cf_c+\lambda_df_d)(x)=\lambda_af_a(x)+\lambda_bf_b(x)+\lambda_cf_c(x)+\lambda_df_d(x).
[/mm]
Das muß für alle x gelten, also muß gelten
[mm] g(a)=\lambda_af_a(a)+\lambda_bf_b(a)+\lambda_cf_c(a)+\lambda_df_d(a)
[/mm]
und
[mm] g(b)=\lambda_af_a(b)+\lambda_bf_b(b)+\lambda_cf_c(b)+\lambda_df_d(b)
[/mm]
und
[mm] g(c)=\lambda_af_a(c)+\lambda_bf_b(c)+\lambda_cf_c(c)+\lambda_df_d(c)
[/mm]
und
[mm] g(d)=\lambda_af_a(d)+\lambda_bf_b(d)+\lambda_cf_c(d)+\lambda_df_d(d)
[/mm]
Und? Kannst Du die vier [mm] \lambda [/mm] ermitteln?
Es ist also [mm] g=...f_a+...f_b+...f_c+...f_d.
[/mm]
Sei nun f eine beliebige Funktion aus [mm] \IR^X [/mm] mit
[mm] f(a):=r_a
[/mm]
[mm] f(b):=r_b
[/mm]
[mm] f(c):=r_c
[/mm]
[mm] f(d):=r_d.
[/mm]
Wie kannst Du diese nun als Linearkombination von [mm] f_a,f_b, f_c, f_d [/mm] schreiben?
Wenn Du das hast, notiere, was Du prüfen mußt, wenn Du wissen willst, ob [mm] f_a,f_b, f_c, f_d [/mm] linear unabhängig sind.
Vielleicht kommst Du sogar schon weiter.
LG Angela
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Danke ich glaube jetzt habe ich es verstanden:
ich würde das dann also für [mm] $X=\left\{ x_1,x_2,...,x_n \right\}$ [/mm] so aus drücken
[mm] $f{_x__1}(x_1):=1$
[/mm]
[mm] $f{_x__2}(x_1):=0$
[/mm]
.
.
.
[mm] $f{_x__n}(x_1):=0$
[/mm]
.
.
.
[mm] $f{_x__1}(x_n):=0$
[/mm]
[mm] $f{_x__2}(x_n):=0$
[/mm]
.
.
.
[mm] $f{_x__n}(x_n):=1$
[/mm]
Sei dann f eine beliebige funktion aus [mm] $\IR^X$ [/mm] mit
[mm] $f(x_1)=y_1$
[/mm]
[mm] $f(x_2)=y_2$
[/mm]
.
.
.
[mm] $f(x_n)=y_n$
[/mm]
dann ist
[mm] $f(x)=y_1*f{_x__1}(x)+y_2*f{_x__2}(x)+...+y_n*f{_x__n}(x)
[/mm]
Ist das so jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke ich glaube jetzt habe ich es verstanden:
>
> ich würde das dann also für [mm]X=\left\{ x_1,x_2,...,x_n \right\}[/mm]
> so aus drücken
>
> [mm]f{_x__1}(x_1):=1[/mm]
> [mm]f{_x__2}(x_1):=0[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]f{_x__n}(x_1):=0[/mm]
>
> .
> .
> .
> [mm]f{_x__1}(x_n):=0[/mm]
> [mm]f{_x__2}(x_n):=0[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]f{_x__n}(x_n):=1[/mm]
das kann man schön verpacken: Wenn [mm] $X=\{x_1,...,x_n\}$ [/mm] mit [mm] $|X|=n\,$ [/mm] ist, so definiere
[mm] $f_{x_{k}}(x_\ell):=\delta_{k,\ell}$
[/mm]
mit dem ![[]](/images/popup.gif) Kronecker-Delta.
Übrigens ist da natürlich schon etwas passiert: Denn wenn man
[mm] $X=\{x: x \in X\}$ [/mm] mit [mm] $\{x_k: x_k \in X: k=1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $|\{x_k: x_k \in X: k=1,...n\}|=n=|X|$ [/mm] identifiziert,
so benutzt man ja eigentlich eine Abbildung
$u [mm] \colon \{1,...,n\} \to X\,,$
[/mm]
die injektiv (was hier =surjektiv=bijektiv bedeutet) ist. Man macht also
mit solch einer Abbildung [mm] $u\,$ [/mm] also sowas wie
[mm] $X=\{u(j):\;\;j=1,...,n\}\,,$
[/mm]
wobei [mm] $x_j:=u(j)$ [/mm] für $j=1,...,n$ ist.
> Sei dann f eine beliebige funktion aus [mm]\IR^X[/mm] mit
>
> [mm]f(x_1)=y_1[/mm]
> [mm]f(x_2)=y_2[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]f(x_n)=y_n[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]$f(x)=y_1*f{_x__1}(x)+y_2*f{_x__2}(x)+...+y_n*f{_x__n}(x)[/mm]
>
> Ist das so jetzt richtig?
Ja, aber auch das kann man durchaus etwas schöner formulieren:
Sei $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] irgendeine solche Abbildung. Sei $x [mm] \in X\,.$ [/mm] Dann gibt es genau
ein $i [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $x=x_i\,.$ [/mm] Wir definieren [mm] $y_i:=y:=f(x_i)$ [/mm] ($=f(x)$).
Indem wir [mm] $X\,$ [/mm] durchlaufen, erhalten wir also [mm] $n\,$ [/mm] Werte [mm] $y_1,...,y_n\,,$ [/mm] es
gilt also
[mm] $f(x_i)=y_i \in \IR$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,...,n\}\,.$
[/mm]
Du willst nun zeigen, dass sich damit dann
$f [mm] \in \IR^X$
[/mm]
als Linearkombination der [mm] $f_{x_j}$ [/mm] ($j=1,...,n$) schreiben läßt.
I) Das bedeutet doch: Es gibt
[mm] $\lambda_1,...,\lambda_n \in \IR$
[/mm]
so, dass
[mm] $(\lambda_1 f_{x_1}+...+\lambda_n f_{x_n})=f$
[/mm]
gelten soll. (Rein per Definitionem - das bedeutet auch:
[mm] $(\lambda_1 f_{x_1}+...+\lambda_n f_{x_n})$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] haben sowohl den gleichen Definitions-
Bereich als auch den gleichen Zielbereich, und zudem:
[mm] $(\lambda_1 f_{x_1}+...+\lambda_n f_{x_n})(x)=f(x)\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] des (gleichen)
Definitionsbereichs ist nachzuweisen!
Dabei ist
[mm] $(\lambda_1 f_{x_1}+...+\lambda_n f_{x_n}) \colon [/mm] X [mm] \to \IR$
[/mm]
definiert durch
[mm] $(\lambda_1 f_{x_1}+...+\lambda_n f_{x_n})(x):=\lambda_1 f_{x_1}(x)+...+\lambda_n f_{x_n}(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in X\,.$
[/mm]
II) In Hinblick auf (I) sagst Du nun:
Wenn ich
[mm] $\lambda_i:=y_i$ ($\in \IR$) [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,..,n\}$
[/mm]
definiere, so habe ich eine gewünschte Linearkombination für [mm] $f\,$ [/mm] gefunden.
Was fehlt denn jetzt noch? Naja, der direkte Nachweis, dass das nicht eine
bloße Behauptung ist:
Du musst also noch
[mm] $f(x)\;=\;\sum_{k=1}^n y_k f_{x_k}(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$
nachrechnen.
Tipp: Für $x [mm] \in [/mm] X$ sei $m [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] eindeutig bestimmt mit [mm] $x=x_m\,.$
[/mm]
Dann folgt einerseits
[mm] $y_m=f(x_m)$
[/mm]
und es ist andererseits
[mm] $\left(\sum_{k=1}^n y_k f_{x_k}\right)(x_m)=\sum_{k=1}^n y_k f_{x_k}(x_m)=\sum_{k=1}^n y_k \delta_{k,m}$
[/mm]
Jetzt nochmal auf das Kronecker-Delta gucken...
Aber wie gesagt: Das ist nur ein formaler Ausbau, inhaltlich war das von
Dir Gesagte im Wesentlichen in Ordnung. (Es ist halt ein wenig die Frage,
ob Dir manche Details klar sind: Z.B. muss man für Funktionen $f,g [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$
ja nicht notwendig [mm] $(f\red{\,+\,}g)(x):=f(x)+g(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$ setzen. Das
[mm] $\red{\,+\,}$ [/mm] würde man vielleicht auch erstmal besser als [mm] $\oplus$ [/mm] schreiben...)
Gruß,
Marcel
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> Danke ich glaube jetzt habe ich es verstanden:
>
> ich würde das dann also für [mm]X=\left\{ x_1,x_2,...,x_n \right\}[/mm]
> so aus drücken
>
> [mm]f{_x__1}(x_1):=1[/mm]
> [mm]f{_x__2}(x_1):=0[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]f{_x__n}(x_1):=0[/mm]
>
> .
> .
> .
> [mm]f{_x__1}(x_n):=0[/mm]
> [mm]f{_x__2}(x_n):=0[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]f{_x__n}(x_n):=1[/mm]
>
> Sei dann f eine beliebige funktion aus [mm]\IR^X[/mm] mit
>
> [mm]f(x_1)=y_1[/mm]
> [mm]f(x_2)=y_2[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]f(x_n)=y_n[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]f(x)=y_1*f{_x__1}(x)+y_2*f{_x__2}(x)+...+y_n*f{_x__n}(x)[/mm]
>
> Ist das so jetzt richtig?
Moin,
genau.
Behaupte, es ist [mm] f=y_1*f{_x__1}+y_2*f{_x__2}+...+y_n*f{_x__n},
[/mm]
und rechne dann vor, daß für jedes i gilt, daß
[mm] f(x_i)=y_1*f{_x__1}(x_i)+y_2*f{_x__2}(x_i)+...+y_n*f{_x__n}(x_i).
[/mm]
Danach noch die lineare Unabhängigkeit.
LG Angela
>
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:41 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Hallo,
>
> ich glaube, Du hast die Aufgabe nicht richtig verstanden.
>
> Wir machen das jetzt mal konkret für eine Menge X.
>
> Es sei [mm]X:=\{a,b,c\}.[/mm]
>
> [mm]\IR^X[/mm] ist die Menge aller Funktionen, welche aus der Menge
> X in die Menge [mm]\IR[/mm] abbilden.
>
> Ein Beispiel für eine solche Funktion wäre etwa die
> Funktion
> [mm]g:X\to \IR[/mm] mit
> g(a):=5
> [mm]g(b):=\wurzel{3}[/mm]
> g(c):=0
> g(d):=-4
> ...
sollte dann nicht
[mm] $X=\{a,b,c,\red{\,d}\}$
[/mm]
sein (wobei diese Elemente paarweise verschieden sein sollen - was man
natürlich auch erkennt, dass das bei Dir mit drinsteckt, wenn Du [mm] $g\,$ [/mm] definierst
- andernfalls wäre [mm] $g\,$ [/mm] ja eventuell schon nicht wohldefiniert... aber der
Deutlichkeit wegen würde ich da etwa "mit [mm] $|X|=4\,$" [/mm] ergänzen).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 24.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
nur mal ergänzend:
> > Sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie, dass die Funktion
> > [mm]\left\{ f_x \right\}_{x\inX}[/mm] eine Basis von [mm]\IR^X[/mm] sind,
> wo
> >
> > [mm]f_{x}(y)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{für} y=x\\ 0, & \mbox{für} y\ne x \end{matrix}\right\[/mm]
>
> >
> > Die Funktion ist ja gerade 1 für jedes x in X
>
> Hallo,
>
> .
>
> Das ist richtig. Und an den anderen Stellen =0.
>
> Der Rest dessen, was Du schreibst, ist etwas esoterisch,
> und ich kann nicht über falsch und richtig entscheiden.
>
> Wenn Du zeigen willst, daß die [mm]f_{x_i}[/mm] eine des [mm]\IR^X[/mm]
> sind, mußt Du vorrechnen, daß Du jede Funktion aus [mm]\IR^X[/mm]
> als Linearkombination der die [mm]f_{x_i}[/mm] schreiben kannst, und
> daß die die [mm]f_{x_i}[/mm] linear unabhängig sind.
wenn man sich ein wenig mit endlichdimensionalen Vektorräumen
auskennt, so sollte man sich durchaus auf weniger beschränken:
Da [mm] $\IR^{|X|}$ [/mm] Dimension [mm] $|X|\,$ [/mm] hat (okay, da ist jetzt die Frage, ob man
das beweisen kann oder am Besten schon etwas zur Hand hat, aus dem
das folgt; ansonsten ist Dein Weg wirklich der bessere...), reicht es,
nachzurechnen, dass die Menge [mm] $\{f_{x_i}: i=1,...,|X|\}$ [/mm] linear unabhängig ist.
Aber wie gesagt: Das ist "Werkzeugkoffer-abhängig"!
Gruß,
Marcel
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