Basis des \IR^{3} < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | a) Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] bilden die Vektoren
[mm] v_{1}:=\vektor{1\\1\\2}, v_{2}:=\vektor{1\\2\\3}, v_{3}:=\vektor{1\\0\\ \alpha},
[/mm]
eine Basis des [mm] \IR^{3}? [/mm] Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Berechnen Sie für [mm] \alpha=1 [/mm] die Darstellung des Vektors [mm] v_{1} [/mm] als Linearkombination von [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] |
Habe aus den gegebenen Vektoren ein Lineares Gleichungssystem aufgestellt und in die Zeilenstufenform gebracht.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \alpha-1}
[/mm]
Für [mm] \alpha \not=1 [/mm] sind die Vektoren linear unabhängig und bilden somit eine Basis des [mm] \IR^{3}
[/mm]
Reicht es als Begründung?
b) Berechnen Sie für [mm] \alpha=1 [/mm] die Darstellung des Vektors [mm] v_{1} [/mm] als Linearkombination von [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3}
[/mm]
[mm] r*\vektor{1\\2\\3}+ s*\vektor{1\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\2}
[/mm]
Die dazugehörige Matrix in Zeilenstufenform lautet:
[mm] \pmat{r & s & RS \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Nun muss ich die Variablen r, s [mm] \in \IR [/mm] so bestimmen da das LGS lösbar wird.
Das Problem ist nun, dass ich das s nicht eindeutig bestimmen kann.
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Hallo,
> a) Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] bilden die Vektoren
> [mm]v_{1}:=\vektor{1\\1\\2}, v_{2}:=\vektor{1\\2\\3}, v_{3}:=\vektor{1\\0\\ \alpha},[/mm]
>
> eine Basis des [mm]\IR^{3}?[/mm] Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> b) Berechnen Sie für [mm]\alpha=1[/mm] die Darstellung des Vektors
> [mm]v_{1}[/mm] als Linearkombination von [mm]v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm]
> Habe aus den gegebenen Vektoren ein Lineares
> Gleichungssystem aufgestellt und in die Zeilenstufenform
> gebracht.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \alpha-1}[/mm]
>
> Für [mm]\alpha \not=1[/mm] sind die Vektoren linear unabhängig und
> bilden somit eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> Reicht es als Begründung?
Mir würde das reichen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Berechnen Sie für [mm]\alpha=1[/mm] die Darstellung des Vektors
> [mm]v_{1}[/mm] als Linearkombination von [mm]v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm]
>
> [mm]r*\vektor{1\\2\\3}+ s*\vektor{1\\0\\1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\2}[/mm]
> Die dazugehörige Matrix in Zeilenstufenform lautet:
> [mm]\pmat{r & s & RS \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Nun muss ich die Variablen r, s [mm]\in \IR[/mm] so bestimmen da das
> LGS lösbar wird.
> Das Problem ist nun, dass ich das s nicht eindeutig
> bestimmen kann.
Doch, das geht. Die zweite Gleichung besagt:
-2s=-1
Also [mm] s=\frac{1}{2}
[/mm]
LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
OK,
dann bekommt man für s und r = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
d.h.
$ [mm] v_{1} [/mm] $ ist für [mm] r,s=\bruch{1}{2} [/mm] eine Linearkombination von $ r * [mm] v_{2} [/mm] $ und $s * [mm] v_{3} [/mm] $
[mm] \bruch{1}{2} \cdot{}\vektor{1\\2\\3}+ \bruch{1}{2} \cdot{}\vektor{1\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\2} [/mm] = [mm] v_{1} [/mm]
Wäre das ok so?
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> OK,
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> dann bekommt man für s und r = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> d.h.
> [mm]v_{1}[/mm] ist für [mm]r,s=\bruch{1}{2}[/mm] eine Linearkombination von
> [mm]r * v_{2}[/mm] und [mm]s * v_{3}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2} \cdot{}\vektor{1\\2\\3}+ \bruch{1}{2} \cdot{}\vektor{1\\0\\1}[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\1\\2}[/mm] = [mm]v_{1}[/mm]
>
> Wäre das ok so?
Ja
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
Super! Danke für die Hilfe!
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