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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Fr 13.02.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Matrix A. Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis der folgenden
Unterräume, sowie eine Ergänzung der Basis zu einer Basis des Standardraumes:
[mm] U_{1} [/mm] = Z(A) - Zeilenraum
[mm] U_{2} [/mm] = [mm] L_{0}(A) [/mm] - homogenes GS |
A= [mm] \pmat{ 0 & 3 & −2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & −2 \\ 0 & −6 & 4 & −2 & −2 \\ −6 & 0 & −2 & 0 & 4 }
[/mm]
Nach Gauß:
A = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 1 & 0 & −2 \\ 0 & 3 & −2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
d.h. die Basis für Z(A) ist
[mm] B_{1} [/mm] = { [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2},\vektor{0 \\ 3 \\ -2 \\ 1 \\ 1} [/mm] }
dim=2
------------------------------------------------------
und für [mm] L_{0}(A) [/mm]
3u+x2-2z=0
3w-2x+y+z=0
=>
u = [mm] -\bruch{1}{3}(x-2z) [/mm]
w = [mm] -\bruch{1}{3}(-2x+y+z)
[/mm]
d.h. ist die Basis von [mm] L_{0}(A):
[/mm]
[mm] B_{1} [/mm] = { [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} \\ 0 \\ \\ 1},\vektor{0 \\ -\bruch{1}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{-\bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] }
dim=3
Ist dies richtig ?
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Hallo rsprsp,
> Gegeben ist eine Matrix A. Bestimmen Sie jeweils die
> Dimension und eine Basis der folgenden
> Unterräume, sowie eine Ergänzung der Basis zu einer
> Basis des Standardraumes:
> [mm]U_{1}[/mm] = Z(A) - Zeilenraum
> [mm]U_{2}[/mm] = [mm]L_{0}(A)[/mm] - homogenes GS
> A= [mm]\pmat{ 0 & 3 & −2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 0 & −2 \\ 0 & −6 & 4 & −2 & −2 \\ −6 & 0 & −2 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Nach Gauß:
>
> A = [mm]\pmat{ 3 & 0 & 1 & 0 & −2 \\ 0 & 3 & −2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> d.h. die Basis für Z(A) ist
>
> [mm]B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2},\vektor{0 \\ 3 \\ -2 \\ 1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> dim=2
>
Korrekt ist:
[mm]B_{1} = { \vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \blue{+}2},\vektor{0 \\ 3 \\ \blue{+}2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> ------------------------------------------------------
>
> und für [mm]L_{0}(A)[/mm]
>
> 3u+x2-2z=0
> 3w-2x+y+z=0
>
> =>
> u = [mm]-\bruch{1}{3}(x-2z)[/mm]
> w = [mm]-\bruch{1}{3}(-2x+y+z)[/mm]
>
> d.h. ist die Basis von [mm]L_{0}(A):[/mm]
>
> [mm]B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} \\ 0 \\ \\ 1},\vektor{0 \\ -\bruch{1}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{-\bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> dim=3
>
Korrekt ist:
[mm]B_{1} = { \vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} \\ 0 \\ \blue{0} \\ 1},\vektor{0 \\ -\bruch{1}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{-\bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist dies richtig ?
Gruss
MathePower
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