Basis bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] v_1=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2}, v_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{5 \\ 2 \\ 4 \\ 6}, v_4=\vektor{1 \\ 6 \\ 3 \\ -1},v_5=\vektor{1 \\ \alpha-2 \\ 1 \\ \alpha-1}
[/mm]
Es ist [mm] U=Lin(v_1,v_2) [/mm] und [mm] V=Lin(v_3,v_4,v_5). [/mm] Bestimme in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] Basen von [mm] U\cap [/mm] V und U+V. |
Zuerst die Basis bestimmen, die im Schnitt liegt.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -2 & -6 & -\alpha+2 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -6 & 1 & -\alpha+2 }
[/mm]
In Zeilenstufenform gebracht erhalte ich dann folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & 1 -\alpha \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 3-\alpha \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+4 }
[/mm]
Hier hängt es irgendwie:
[mm] (-\alpha+4)*x_5=0
[/mm]
[mm] x_5=1 [/mm] wenn [mm] \alpha=4 [/mm] und [mm] x_5=0 [/mm] wenn [mm] \alpha \not=4
[/mm]
[mm] x_3=x_4-(3-\alpha)x_5
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter. Ich brauche [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] um die Basis des Schnitts zu ermitteln.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2}, v_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{5 \\ 2 \\ 4 \\ 6}, v_4=\vektor{1 \\ 6 \\ 3 \\ -1},v_5=\vektor{1 \\ \alpha-2 \\ 1 \\ \alpha-1}[/mm]
>
> Es ist [mm]U=Lin(v_1,v_2)[/mm] und [mm]V=Lin(v_3,v_4,v_5).[/mm] Bestimme in
> Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] Basen von [mm]U\cap[/mm] V und U+V.
> Zuerst die Basis bestimmen, die im Schnitt liegt.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -2 & -6 & -\alpha+2 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -6 & 1 & -\alpha+2 }[/mm]
>
> In Zeilenstufenform gebracht erhalte ich dann folgendes:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & 1 -\alpha \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 3-\alpha \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+4 }[/mm]
>
> Hier hängt es irgendwie:
> [mm](-\alpha+4)*x_5=0[/mm]
>
> [mm]x_5=1[/mm] wenn [mm]\alpha=4[/mm]
Unsinn. Wenn [mm]\alpha=4[/mm] , so ist [mm](-\alpha+4)*x_5=0[/mm] für jedes (!) [mm] x_5.
[/mm]
FRED
> und [mm]x_5=0[/mm] wenn [mm]\alpha \not=4[/mm]
>
> [mm]x_3=x_4-(3-\alpha)x_5[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter. Ich brauche [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] um die
> Basis des Schnitts zu ermitteln.
>
> MfG
> Mathegirl
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Ok, aber wie bestimme ich die Basis des Schnitts? Dafür brauche ich doch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] oder?
MfG
Mathegirl
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> Ok,
> aber wie bestimme ich die Basis des Schnitts? Dafür
> brauche ich doch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2,[/mm] oder?
Hallo,
es hatte Dir in der Vergangenheit schonmal jemand gesagt:
Du solltest auf das eingehen, was Dir in Antworten mitgeteilt wird.
Du hattest geschrieben:
> Zuerst die Basis bestimmen, die im Schnitt liegt.
Du meinst: die Basis des Schnittes bestimmen. (Natürlich liegt sie auch im Schnitt).
>
> [mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -2 & -6 & -\alpha+2 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\
2 & 1 & -6 & 1 & -\alpha+2 } [/mm]
>
> In Zeilenstufenform gebracht erhalte ich dann folgendes:
>
> [mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & 1 -\alpha \\
0 & 0 & 1 & -1 & 3-\alpha \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+4 } [/mm]
>
> Hier hängt es irgendwie:
> [mm] (-\alpha+4)\cdot{}x_5=0 [/mm]
>
> [mm] x_5=1 [/mm] wenn [mm] \alpha=4 [/mm]
Fred hat Dir nun gesagt, daß jedes [mm] x_5 [/mm] die Gleichung löst, und Du gehst gar nicht darauf ein! Das ist doch ein wichtiger Hinweis, welcher für die Lösung der Aufgabe wichtig ist.
Schauen wir uns nun Deine ZSF an.
(Du solltest sie nochmal nachrechnen, sie scheint mir nämlich nicht ganz richtig zu sein. Ich arbeite jetzt aber einfach erstmal mit ihr weiter, Du kannst das gesagte ja dann auf die Richtige anwenden.)
Du hast ja selbst "irgendwie" erkannt, daß es nicht ganz schnuppe ist, was a ist.
Wir machen also einfach eine Fallunterscheidung:
1.Fall: [mm] a\not=4
[/mm]
Dann hat man die ZSF
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & 1 -\alpha \\
0 & 0 & 1 & -1 & 3-\alpha \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Die Führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1,2,3,5,
also kannst Du [mm] x_4 [/mm] frei wählen.
Mit [mm] x_4=t
[/mm]
bekommt man
[mm] x_5=...
[/mm]
[mm] x_3=...
[/mm]
usw.
Also lösen alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_5}=t*\vektor{\red{...}\\\red{...}\\\blue{...}\\\blue{...}\\\blue{...}} [/mm] das System.
Damit weißt Du:
alle Vektoren v der Gestalt [mm] v=\red{...}v_1+\red{...}v_2 [/mm] bzw. [mm] v=\blue{...}v_3+\blue{...}v_4+\blue{...}v_5 [/mm] lösen das System.
Und nun faßt Du zusammen [mm] V=t*\vektor{...\\...\\...\\...\\...} [/mm] und liest eine Basis des Schnittes ab.
2.Fall: a=4
Dann hat man die ZSF
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen usw. usf.
Aber wie gesagt: prüf die ZSF nochmal.
LG Angela
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Ich steige bei dem Beispiel trotzdem nicht durch...
Ich habe nun die ZSF nochmal nachgerechnet
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+2 }
[/mm]
1. Fall: [mm] \alpha\not= [/mm] 2
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Ich verstehe nicht warum ich hier [mm] x_4 [/mm] frei wählen kann, also warum
> Die Führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in
> Spalte 1,2,3,5,
> also kannst Du [mm]x_4[/mm] frei wählen.
Wenn [mm] \alpha\not=2 [/mm] dann muss doch nach der letzten Zeile [mm] x_5=0 [/mm] sein, denn [mm] 1x_5=0 [/mm] ist ja nur für [mm] x_5=0 [/mm] möglich.
Wenn ich dann [mm] x_4=t [/mm] wähle erhalte ich für [mm] x_3=t [/mm] denn [mm] 1x_3-t+0=0
[/mm]
Und für [mm] x_2=7t [/mm] und [mm] x_1=-1t
[/mm]
Ich gehe an diese Aufgabe vermutlich ganz falsch ran, aber irgendwie hab ich das ganze wohl immer noch nicht verstanden. Daher verstehe ich auch nicht warum für [mm] x_5 [/mm] alle Werte gelten können und nicht [mm] x_5=0
[/mm]
Vielleicht kannst du mir nochmal erklären wo hier mein Denkfehler liegt.
MfG
Mathegirl
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> Ich steige bei dem Beispiel trotzdem nicht durch...
>
> Ich habe nun die ZSF nochmal nachgerechnet
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+2 }[/mm]
Hallo,
meine sieht anders aus, es kann aber auch gut sein, daß ich mich vertan habe.
Falls es Dir wichtig ist, daß Du eine richtige ZSF hast, müßtest Du mal Schritt für Schritt vorrechnen, dann sieht man, ob alles richtig ist oder nicht.
Für das, was Du im Moment wissen willst, ist es aber egal.
>
> 1. Fall: [mm]\alpha\not=[/mm] 2
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Ich verstehe nicht warum ich hier [mm]x_4[/mm] frei wählen kann,
> also warum
>
> > Die Führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in
> > Spalte 1,2,3,5,
> > also kannst Du [mm]x_4[/mm] frei wählen.
Ich könnte Dir das erklären. Es würde aber diesen Thread, in dem es um etwas anderes geht nicht übersichtlicher machen.
Ich rate Dir, einfach mal als Sofortnaßnahme am Unfallort zu akzeptieren, daß es so ist.
Das Kochrezept: "die Variablen der Spalten, in denen kein führendes Zeilenelement steht, können frei gewählt werden" ist nützlich, weil es funktioniert.
>
> Wenn [mm]\alpha\not=2[/mm] dann muss doch nach der letzten Zeile
> [mm]x_5=0[/mm] sein, denn [mm]1x_5=0[/mm] ist ja nur für [mm]x_5=0[/mm] möglich.
Ja.
>
> Wenn ich dann [mm]x_4=t[/mm] wähle erhalte ich für [mm]x_3=t[/mm] denn
> [mm]1x_3-t+0=0[/mm]
Ja.
>
> Und für [mm]x_2=7t[/mm]
Ja.
> und [mm]x_1=-1t[/mm]
Ja.
>
> Ich gehe an diese Aufgabe vermutlich ganz falsch ran,
Nein.
> aber
> irgendwie hab ich das ganze wohl immer noch nicht
> verstanden. Daher verstehe ich auch nicht warum für [mm]x_5[/mm]
> alle Werte gelten können und nicht [mm]x_5=0[/mm]
Für [mm] x_5 [/mm] kann man hier nicht alles einsetzen.
Das kommt erst, wenn Du den nächsten Fall, a=2 betrachtest.
LG Angela
>
> Vielleicht kannst du mir nochmal erklären wo hier mein
> Denkfehler liegt.
>
>
> MfG
> Mathegirl
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[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -2 & -6 & -\alpha+2 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -6 & 1 & -\alpha+2 }
[/mm]
I+II
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -6 & 1 & -\alpha+2 }
[/mm]
(-2)*I+IV
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & 3 & -\alpha+3 }
[/mm]
II+IV
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+2 }
[/mm]
II+(-2)*III
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+2 }
[/mm]
1.Fall: [mm] \alpha\not=2
[/mm]
[mm] x_5=0
[/mm]
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] t*\vektor{5 \\ 2 \\ 4 \\ 6}+t*x_3*\vektor{1 \\ 6 \\ 3 \\ -1}+0*\vektor{1 \\ \alpha-2 \\ 1 \\ \alpha-1}=t*\vektor{6 \\ 8 \\ 7 \\ 5}
[/mm]
[mm] B_{U\cap V}=\vektor{6 \\ 8 \\ 7 \\ 5}
[/mm]
2.Fall: [mm] \alpha=2
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] x_5=(-\alpha+3)a
[/mm]
[mm] x_4=-b
[/mm]
[mm] x_3=-b+(-\alpha+3)a
[/mm]
Richtig?
Und dann das selbe Vorgehen wie bei [mm] \alpha\not=2
[/mm]
MfG
Mathegirl
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -2 & -6 & -\alpha+2 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\
2 & 1 & -6 & 1 & -\alpha+2 }[/mm]
>
> I+II
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\
2 & 1 & -6 & 1 & \red{-\alpha+2} }[/mm]
Hallo,
der markierte Eintrag stimmt nicht, was dann natürlich weitergehende Auswirkungen hat.
Ich beende die Korrektur der ZSF an dieser Stelle vorerst.
>
> (-2)*I+IV
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\
0 & -1 & 4 & 3 & -\alpha+3 }[/mm]
>
> II+IV
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+2 }[/mm]
>
> II+(-2)*III
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\alpha+2 }[/mm]
>
> 1.Fall: [mm]\alpha\not=2[/mm]
> [mm]x_5=0[/mm]
> [mm]x_4=t[/mm]
> [mm]x_3=t[/mm]
>
> [mm]t*\vektor{5 \\
2 \\
4 \\
6}+t*x_3*\vektor{1 \\
6 \\
3 \\
-1}+0*\vektor{1 \\
\alpha-2 \\
1 \\
\alpha-1}=t*\vektor{6 \\
8 \\
7 \\
5}[/mm]
>
> [mm]B_{U\cap V}=\vektor{6 \\
8 \\
7 \\
5}[/mm]
Wenn man mißachtet, daß die Matrix falsch ist, hast Du alles richtig gemacht.
>
> 2.Fall: [mm]\alpha=2[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -5 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -7 & -7 & -\alpha+1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -\alpha+3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Wenn [mm] \alpha=2, [/mm] dann solltest Du das überall für [mm] \alpha [/mm] auch einsetzen!
>
> [mm]x_5=(-\alpha+3)a[/mm]
> [mm]x_4=-b[/mm]
> [mm]x_3=-b+(-\alpha+3)a[/mm]
>
> Richtig?
Nicht ganz. Du hast zwar richtig erkannt, daß man [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] frei wählen kann, aber die Umsetzung ist noch nicht perfekt.
Mit
[mm] x_5=a
[/mm]
[mm] x_4=b
[/mm]
erhält man aus der vorletzten Zeile [mm] x_3-x_4+(-2+3)x_5=0 [/mm]
<==>
[mm] x_3=b-a
[/mm]
>
> Und dann das selbe Vorgehen wie bei [mm]\alpha\not=2[/mm]
Hier wird der Schnitt wohl die Dimension 2 haben.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich komme doch immer wieder auf die selbe Basis, selbst wenn ich das rot markierte richtig stelle.
Okay...dann also für die falsche ZSF (wo ich den Fehler nicht erkenne)
[mm] x_5=a
[/mm]
[mm] x_4=b
[/mm]
[mm] x_3=b-a
[/mm]
[mm] (b-a)*\vektor{5 \\ 2 \\ 4 \\ 6}+b*\vektor{1 \\ 6 \\ 3 \\ -1}+a*\vektor{1 \\
\alpha-2 \\ 1 \\ \alpha-1}
[/mm]
1. Fall: a=1 und b=0
2.Fall: a=0 und b=1
[mm] B_{U\cap V}={\vektor{-4 \\ \alpha -4 \\ -3 \\ \alpha -7}, \vektor{6 \\ 8 \\ 7 \\ 5}}
[/mm]
MfG
Mathegirl
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> Ich komme doch immer wieder auf die selbe Basis, selbst
> wenn ich das rot markierte richtig stelle.
>
> Okay...dann also für die falsche ZSF (wo ich den Fehler
> nicht erkenne)
>
> [mm]x_5=a[/mm]
> [mm]x_4=b[/mm]
> [mm]x_3=b-a[/mm]
>
> [mm](b-a)*\vektor{5 \\
2 \\
4 \\
6}+b*\vektor{1 \\
6 \\
3 \\
-1}+a*\vektor{1 \\
\alpha-2 \\
1 \\
\alpha-1}[/mm]
>
> 1. Fall: a=1 und b=0
> 2.Fall: a=0 und b=1
>
> [mm]B_{U\cap V}={\vektor{-4 \\
\alpha -4 \\
-3 \\
\alpha -7}, \vektor{6 \\
8 \\
7 \\
5}}[/mm]
Hallo,
vom Prinzip her richtig.
Bist Du gerade bei [mm] \alpha=2?
[/mm]
Ich hatte offenbar vergessen, Dich daruafhinzuweisen, daß Du dies einsetzen solltest.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Mathegirl |
also [mm] \alpha=2 [/mm] auch in die Basen einsetzen?
Ok.....danke für den Hinweis.
Jetzt hab ichs hoffentlich verstanden..
MfG
Mathegirl
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