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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Geben Sie für den VR eine Basis an:
[mm] $\{x_1,x_2,x_3,x_4 \in R^3 x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\}$ [/mm] |
Hoi.
Das mag unglaublich klingen aber ich kriege es hier nicht hin die basis zu errechnen
ich habe doch zwei gleichungen
[mm] x_1+3x_2+2x_4=0
[/mm]
[mm] 2x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
Jetzt muss ich doch nur noch die x1,x2,x3,x4 bestimmen, sodass in beiden gleichungen null herauskommt.
ich habe damit total das problem
[mm] x_1+3x_2+2x_4=0
[/mm]
ich definiere einfach mal x1=1, [mm] x_4=1, [/mm] x2=-1
Dann setz ich das in gleichung 2 ein
[mm] 2*1-1+x_3=0
[/mm]
[mm] x_3=-1
[/mm]
Also erster Vektor der Basis (1,-1,-1,1)
Und jetzt brauche ich noch einen zweiten Vektor, weil es zwei Gleichungen sind? Oder?
[mm] x_1+3x_2+2x_4=0
[/mm]
[mm] 2x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
Dann mal von vorn
[mm] x_1=2, x_2:=0, x_4=-1
[/mm]
Eingesetzt [mm] 2*2+x_3=0
[/mm]
[mm] x_3=-4
[/mm]
Also zweiter Vektor der Basis (2,0,-4,-1)
Basis = [mm] \{(1,-1,-1,1),(2,0,-4,-1)\}
[/mm]
Kann man das so machen oder wie geht das?
Eine Komponente muss ich doch gleich Null setzen für die lineare unabhängigkeit der Vektoren oder?
Gruß, Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 21.03.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Geben Sie für den VR eine Basis an:
>
> [mm]\{x_1,x_2,x_3,x_4 \in R^3 x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> Hoi.
>
> Das mag unglaublich klingen aber ich kriege es hier nicht
> hin die basis zu errechnen
Und was ist das unten?
> ich habe doch zwei gleichungen
>
> [mm]x_1+3x_2+2x_4=0[/mm]
> [mm]2x_1+x_2+x_3=0[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch nur noch die x1,x2,x3,x4 bestimmen,
> sodass in beiden gleichungen null herauskommt.
>
> ich habe damit total das problem
>
> [mm]x_1+3x_2+2x_4=0[/mm]
>
> ich definiere einfach mal x1=1, [mm]x_4=1,[/mm] x2=-1
>
> Dann setz ich das in gleichung 2 ein
>
> [mm]2*1-1+x_3=0[/mm]
>
> [mm]x_3=-1[/mm]
>
> Also erster Vektor der Basis (1,-1,-1,1)
Das ist soweit fast OK! Ganz genau müßte es 'einer Basis' heißen, weil es viele Basen gibt.
> Und jetzt brauche ich noch einen zweiten Vektor, weil es
> zwei Gleichungen sind? Oder?
>
> [mm]x_1+3x_2+2x_4=0[/mm]
> [mm]2x_1+x_2+x_3=0[/mm]
>
> Dann mal von vorn
>
> [mm]x_1=2, x_2:=0, x_4=-1[/mm]
>
> Eingesetzt [mm]2*2+x_3=0[/mm]
>
> [mm]x_3=-4[/mm]
>
> Also zweiter Vektor der Basis (2,0,-4,-1)
Hier ist Vorsicht mit dem Wort 'Basis' geboten, es ist erstmal nur ein 2. Vektor aus dem Lösungsraum.
> Basis = [mm]\{(1,-1,-1,1),(2,0,-4,-1)\}[/mm]
Basis ist das, wenn die beiden lin. unabhängig sind.
> Kann man das so machen oder wie geht das?
>
> Eine Komponente muss ich doch gleich Null setzen für die
> lineare unabhängigkeit der Vektoren oder?
Du mußt untersuchen, welche Linearkombinationen dieser beiden Vektoren den Nullvektor darstellen. Das kannst du aber im Kopf ('durch Hinschauen'), weil die 2. Koordinate des einen Vektors = 0 ist. Deswegen muß der Koeffizient beim anderen Vektor = 0 sein, und dann müssen beide Koeffizienten = 0 sein, und dann sind sie lin. unabh., und dann bilden sie eine Basis.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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