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| Aufgabe | Geben Sie für folgende Vektorräume jweils eine Basis an:
a) [mm] span(t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5)
[/mm]
b) {f [mm] \in Abb(\IR,\IR); [/mm] f(x)=0 bis auf endlich vile x [mm] \in \IR} [/mm] |
Hallo zusammen
Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen...
zu a)
Hier bin ich wie folgt vorgegangen, also [mm] t^7+t^5 [/mm] ist ja sicherlich ein Teil der Basis, da es sich nicht aus den anderen Elementen darstellen lässt. Oder?
Dann habe ich die anderen Teile in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
Ist das so richtig?
Da es aber keine Nullzeilen gibt [mm] \Rightarrow t^2,t^2+t, t^2+1,t^2+t+1 [/mm] sind linear unabhängig.
Also ist die Basis: [mm] B={t^2,t^2+t, t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5}
[/mm]
Bei b) weiss ich nun nicht wirklich wie ich da vorgehen soll...???
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 06.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie für folgende Vektorräume jweils eine Basis an:
> a) [mm]span(t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> b) {f [mm]\in Abb(\IR,\IR);[/mm] f(x)=0 bis auf endlich vile x [mm]\in \IR}[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen...
> zu a)
> Hier bin ich wie folgt vorgegangen, also [mm]t^7+t^5[/mm] ist ja
> sicherlich ein Teil der Basis, da es sich nicht aus den
> anderen Elementen darstellen lässt. Oder?
> Dann habe ich die anderen Teile in eine Matrix
> geschrieben:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Ist das so richtig?
> Da es aber keine Nullzeilen gibt [mm]\Rightarrow t^2,t^2+t, t^2+1,t^2+t+1[/mm]
> sind linear unabhängig.
Das stimmt nicht, denn [mm] t^2+(t^2+t+1)-(t^2+1)=t^2+t
[/mm]
> Also ist die Basis: [mm]B={t^2,t^2+t, t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5}[/mm]
nein. s.o.
>
>
> Bei b) weiss ich nun nicht wirklich wie ich da vorgehen
> soll...???
Ich nehme es vorweg: ist V:={f [mm] \in Abb(\IR,\IR); [/mm] f(x)=0 bis auf endlich viele x [mm] \in \IR [/mm] }, so ist dim V= [mm] \infty.
[/mm]
V hat sogar eine überabzählbare Basis !
Für t [mm] \in \IR [/mm] definiere die Funktion [mm] b_t [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] durch
[mm] b_t(x)=1, [/mm] falls x=t und [mm] b_t(x)=0 [/mm] , falls x [mm] \ne [/mm] t.
Zeige: die Menge
[mm] \{b_t: t \in \IR\} [/mm] ist eine Basis von V.
FRED
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo fred > > Geben Sie für folgende Vektorräume jweils eine Basis an:
> > a) [mm]span(t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> > b) {f [mm]\in Abb(\IR,\IR);[/mm] f(x)=0 bis auf endlich vile x [mm]\in \IR}[/mm]
>
> >
> > Hallo zusammen
> >
> > Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen...
> > zu a)
> > Hier bin ich wie folgt vorgegangen, also [mm]t^7+t^5[/mm] ist ja
> > sicherlich ein Teil der Basis, da es sich nicht aus den
> > anderen Elementen darstellen lässt. Oder?
> > Dann habe ich die anderen Teile in eine Matrix
> > geschrieben:
> > [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> >
> > Ist das so richtig?
> > Da es aber keine Nullzeilen gibt [mm]\Rightarrow t^2,t^2+t, t^2+1,t^2+t+1[/mm]
> > sind linear unabhängig.
>
> Das stimmt nicht, denn [mm]t^2+(t^2+t+1)-(t^2+1)=t^2+t[/mm]
Ja, aber was ist den an meinem Rechnungsweg falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Do 06.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred > > Geben Sie für folgende Vektorräume jweils
> eine Basis an:
> > > a) [mm]span(t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler: "{"
> > und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> > ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> >
> > > b) {f [mm]\in Abb(\IR,\IR);[/mm] f(x)=0 bis auf endlich vile x [mm]\in \IR}[/mm]
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> > >
> > > Hallo zusammen
> > >
> > > Versuche gerade obige Aufgabe zu lösen...
> > > zu a)
> > > Hier bin ich wie folgt vorgegangen, also [mm]t^7+t^5[/mm] ist ja
> > > sicherlich ein Teil der Basis, da es sich nicht aus den
> > > anderen Elementen darstellen lässt. Oder?
> > > Dann habe ich die anderen Teile in eine Matrix
> > > geschrieben:
> > > [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
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> > >
> > > Ist das so richtig?
> > > Da es aber keine Nullzeilen gibt [mm]\Rightarrow t^2,t^2+t, t^2+1,t^2+t+1[/mm]
> > > sind linear unabhängig.
> >
> > Das stimmt nicht, denn [mm]t^2+(t^2+t+1)-(t^2+1)=t^2+t[/mm]
>
> Ja, aber was ist den an meinem Rechnungsweg falsch?
Der Rang von $ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] $ ist = 3 und nicht = 4 !
D.h.: die Spalten obiger Matrix sind linear abhängig.
FRED
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