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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Fr 12.12.2008 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | Die Menge aller Polynome p(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1x^{} [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] mit [mm] a_0...a_3 \in \IR [/mm] heiße V.
V ist ein [mm] \IR-Linearer [/mm] Vektorraum (muss nicht bewiesen werden).
Weisen Sie nach, dass die folgenden vier Polynome eine Basis von V bilden:
1, [mm] 1+x^{1}, 1+x+x^{2}, 1+3x+x^{3} [/mm] |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
So, jetzt zu meiner Lösung:
Ich habe mir die Vektoren, die gegeben sind, einfach in Vektoren umgeschrieben:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Diese habe ich nun in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt habe habe ich die Matrix mit elementaren Umformungen in eine Einheitsmatrix überführt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Und jetzt die eigentliche Frage:
Kann ich jetzt sagen, dass die vier gegebenen Vektoren eine Basis von V darstellen, weil sie linear unabhängig sind?
Geht das wirklich so einfach, oder habe ich da irgendwas übersehen?
Ich danke schon einmal im Voraus für eure Hilfe!
Viele Grüße,
djd92l
P.S. ist meine erster Post hier im MatheRaum; Das Fragen-Erstell-Interface ist ja wirklich nett gemacht *lob*
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> Die Menge aller Polynome p(x) = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1x^{}[/mm] + [mm]a_2x^2[/mm] +
> [mm]a_3x^3[/mm] mit [mm]a_0...a_3 \in \IR[/mm] heiße V.
> V ist ein [mm]\IR-Linearer[/mm] Vektorraum (muss nicht bewiesen
> werden).
> Weisen Sie nach, dass die folgenden vier Polynome eine
> Basis von V bilden:
>
> 1, [mm]1+x^{1}, 1+x+x^{2}, 1+3x+x^{3}[/mm]
> (Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
>
>
> So, jetzt zu meiner Lösung:
>
> Ich habe mir die Vektoren, die gegeben sind, einfach in
> Vektoren umgeschrieben:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Diese habe ich nun in eine Matrix geschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Jetzt habe habe ich die Matrix mit elementaren Umformungen
> in eine Einheitsmatrix überführt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Und jetzt die eigentliche Frage:
> Kann ich jetzt sagen, dass die vier gegebenen Vektoren
> eine Basis von V darstellen, weil sie linear unabhängig
> sind?
>
> Geht das wirklich so einfach, oder habe ich da irgendwas
> übersehen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn Euch bereits bekannt ist, daß der VR der Polynome vom Höchstgrad 3 die Dimension 4 hat, bist Du tatsächlich fertig, wenn Du 4 linear unabhängige Vektoren aus diesem Raum hast. Den Hinweis auf Dim V=4 darfst Du allerdings nicht vergessen.
(Klar ist Euch das bekannt: Du hast ja beim Übergang zu den Koordinatenvektoren die Standardbasis [mm] (x^3,x^2, [/mm] x,1) des Polynomraumes verwendet.)
Ist die Sache mit der Dimension nicht bekannt, mußt Du noch zeigen, daß Du ein Erzeugendensystem von V vorliegen hast.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Fr 12.12.2008 | | Autor: | djd92l |
Hallo Angela,
ja, wir haben in der Vorlesung tatsächlich schon gelernt, dass an dieser Stelle Dim(V) = 4 gilt.
Viele Grüße und vielen Dank für deine superschnelle Antwort!!
djd92l
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