Basis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien ein K-Vektorraum V mit einer Basis [mm] \{v,v_1,...,v_2\} [/mm] und ein Vektor u mit der Linearkombination
u = av + [mm] a_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] a_n v_n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \{u, v_1, ... , v_n\} [/mm] im Fall [mm] a\ne [/mm] 0 ebenso eine Basis von V bildet. |
Guten Tag,
die Aufgabenstellung ergibt für mich wenig Sinn. Eine Basis ist ja ein Erzeugendensystem von linear unabhängigen Vektoren. In der Aufgabenstellung ist ja explizit angeben, dass sich u als Linearkombinationen der restlichen Vektoren der Basis darstellen lässt. Dann kann doch [mm] \{u, v_1, ... , v_n\} [/mm] keine Basis sein.
Gruß almightybald
|
|
| |
|
> Gegeben seien ein K-Vektorraum V mit einer Basis
> [mm]\{v,v_1,...,v_n\}[/mm]
Hallo,
Dein Vektorraum hat also die Dimension n+1.
> und ein Vektor u mit der
> Linearkombination
>
> u = av + [mm]a_1 v_1[/mm] + ... + [mm]a_n v_n.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\{u, v_1, ... , v_n\}[/mm] im Fall [mm]a\ne[/mm] 0
> ebenso eine Basis von V bildet.
Hier hast Du ebenfalls eine n+1-elementige Menge von Vektoren.
Es wurde der Vektor v von zuvor gegen den vektor u ausgetauscht.
> die Aufgabenstellung ergibt für mich wenig Sinn. Eine
> Basis ist ja ein Erzeugendensystem von linear unabhängigen
> Vektoren.
Ja.
> In der Aufgabenstellung ist ja explizit angeben,
> dass sich u als Linearkombinationen der restlichen Vektoren
> der Basis darstellen lässt.
Moment! u ist eine Linearkombination von v, [mm] v_1, [/mm] .., [mm] v_n,
[/mm]
aber das v ist in der neuen Menge ja nicht mehr mit drin.
Gruß v. Angela
> Dann kann doch [mm]\{u, v_1, ... , v_n\}[/mm]
> keine Basis sein.
|
|
|
|
