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Basis: Korrekt?

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:37 Sa 22.03.2008
Autor:	barsch

Aufgabe

 Es sei [mm] \{v_1,v_2\} [/mm] eine Basis eines 2-dimensionalen [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] V. Man untersuche, für welche Zahlen [mm] r,s\in\IR [/mm] auch die beiden Vektoren [mm] w_1=r*v_1+v_2 [/mm] und [mm] w_2=v_1+s*v_2 [/mm] eine Basis von V bilden. 

Hi,

auf den ersten Blick schien die Aufgabe noch "recht einfach", aber dann. Ich habe mir folgendes gedacht:

[mm] \lambda*w_1+\mu*w_2=\lambda*(r*v_1+v_2)+\mu*(v_1+s*v_2)=0 [/mm]

Wenn [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] Basis von V, dann ist [mm] \lambda=\mu=0. [/mm]

[mm] \lambda*(r*v_1+v_2)+\mu*(v_1+s*v_2)=...=v_1*(\lambda*r+\mu)+v_2*(\lambda+\mu*s)=0 [/mm]

Von [mm] v_1, v_2 [/mm] wissen wir (aus Aufgabenstellung), dass sie eine Basis von V bilden.

Also würde das heißen:

[mm] v_1*(\lambda*r+\mu)+v_2*(\lambda+\mu*s)=0 [/mm] mit [mm] v_1,v_2 [/mm] linear unabhängig [mm] \Rightarrow (\lambda*r+\mu)=0 [/mm] und [mm] (\lambda+\mu*s)=0 \gdw r=-\bruch{\mu}{\lambda} [/mm] und [mm] s=-\bruch{\lambda}{\mu}. [/mm]

Insgesamt: [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] bilden eine Basis von V [mm] \gdw r=-\bruch{\mu}{\lambda} [/mm] und [mm] s=-\bruch{\lambda}{\mu} [/mm]

Ist das korrekt?

MfG barsch

Bezug

Basis: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:50 Sa 22.03.2008
Autor:	MathePower

Hallo barsch,

> Es sei [mm]\{v_1,v_2\}[/mm] eine Basis eines 2-dimensionalen
> [mm]\IR-Vektorraumes[/mm] V. Man untersuche, für welche Zahlen
> [mm]r,s\in\IR[/mm] auch die beiden Vektoren [mm]w_1=r*v_1+v_2[/mm] und
> [mm]w_2=v_1+s*v_2[/mm] eine Basis von V bilden.
>  Hi,
>
> auf den ersten Blick schien die Aufgabe noch "recht
> einfach", aber dann. Ich habe mir folgendes gedacht:
>
> [mm]\lambda*w_1+\mu*w_2=\lambda*(r*v_1+v_2)+\mu*(v_1+s*v_2)=0[/mm]
>
> Wenn [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] Basis von V, dann ist [mm]\lambda=\mu=0.[/mm]
>
> [mm]\lambda*(r*v_1+v_2)+\mu*(v_1+s*v_2)=...=v_1*(\lambda*r+\mu)+v_2*(\lambda+\mu*s)=0[/mm]
>
> Von [mm]v_1, v_2[/mm] wissen wir (aus Aufgabenstellung), dass sie
> eine Basis von V bilden.
>
> Also würde das heißen:
>
> [mm]v_1*(\lambda*r+\mu)+v_2*(\lambda+\mu*s)=0[/mm] mit [mm]v_1,v_2[/mm]
> linear unabhängig [mm]\Rightarrow (\lambda*r+\mu)=0[/mm] und
> [mm](\lambda+\mu*s)=0 \gdw r=-\bruch{\mu}{\lambda}[/mm] und
> [mm]s=-\bruch{\lambda}{\mu}.[/mm]
>
> Insgesamt: [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] bilden eine Basis von V [mm]\gdw r=-\bruch{\mu}{\lambda}[/mm]
> und [mm]s=-\bruch{\lambda}{\mu}[/mm]
>
> Ist das korrekt?

Ja.

>
> MfG barsch

Gruß
MathePower