Basen und lin. Abhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Di 03.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Nabend,
Im Zuge der Klausurvorbereitung habe ich hier nochmal eine grundlegende Frage, die ich gerade nicht mehr so ganz hinter die Reihe bekomme.
Gegeben seien drei Vektoren [mm] v_{1},v_{2} [/mm] und [mm] v_{3}. [/mm] Um zu prüfen, dass diese drei linear Abhängig oder Unabhängig voneinander sind, muss ich folgendes Lösen:
[mm] v_{1}*s_{1} [/mm] + [mm] v_{2}*s_{2}+v_{3}*s_{3} [/mm] = 0, also ein homogenes LGS. Wenn ich hierbei eine Nullzeile herausbekomme, dann sind die Vektoren lin. abhängig, weil ich dann das Ergebnis dieses LGS in Abhängigkeit von [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] ausdrücken kann bzw. muss. Wenn für alle s = 0 herauskommt, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Wenn ich zu dem von [mm] v_{1},v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] erzeugten Teilraum eine Basis finden soll, dann schreibe ich [mm] v_{1},v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] in eine Matrix und führe elementare Spaltenumformungen aus. Oder ich transportiere diese Matrix und führe entsprechend Zeilenumformung aus, je nach dem was einem mehr liegt.
Die Spaltenumformungen sind auch klar, da ich wieder die Gleichung [mm] v_{1}*s_{1} [/mm] + [mm] v_{2}*s_{2}+v_{3}*s_{3} [/mm] = 0 lösen möchte. (oder...?)
Mit diesem Verfahren weise ich doch dann aber genauso die lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit der drei gegebenen Vektoren nach. (??)
Was ich nun nicht ganz verstehe, wenn das bisher so alles richtig war, warum ich zum Finden von Basen Spaltenumformungen mache (und Zeilenumformungen, abgesehen von einer transponierten Matrix, hier nichts nützen) und ich im Gegenzug dazu beim Prüfen auf lineare Abhängigkeit theoretisch beides machen kann.
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> Gegeben seien drei Vektoren [mm]v_{1},v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}.[/mm] Um zu
> prüfen, dass diese drei linear Abhängig oder Unabhängig
> voneinander sind, muss ich folgendes Lösen:
> [mm]v_{1}*s_{1}[/mm] + [mm]v_{2}*s_{2}+v_{3}*s_{3}[/mm] = 0,
Hallo,
ja.
> also ein
> homogenes LGS. Wenn ich hierbei eine Nullzeile
> herausbekomme, dann sind die Vektoren lin. abhängig,
Nein, das ist nicht unbedingt der Fall.
Schau Dir [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0} [/mm] an.
> ich dann das Ergebnis dieses LGS in Abhängigkeit von [mm]v_{1}, v_{2}[/mm]
> und [mm]v_{3}[/mm] ausdrücken kann bzw. muss. Wenn für alle s = 0
> herauskommt, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Darauf kommt es einzig und allein an.
>
> Wenn ich zu dem von [mm]v_{1},v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] erzeugten
> Teilraum eine Basis finden soll, dann schreibe ich
> [mm]v_{1},v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] in eine Matrix und führe elementare
> Spaltenumformungen aus.
Das kann man machen.
> Oder ich transportiere diese Matrix
> und führe entsprechend Zeilenumformung aus, je nach dem was
> einem mehr liegt.
Auch dies ist üblich und funktioniert super.
Ich halte von all dem nichts, weil schnll der Punkt der Panik kommt und der leicht überforderte Student dann plötzlich nicht mehr weiß, was er tun soll.
Ich empfehle das so - man braucht nur Zeilenumformungen und kann der einen Matrix, die man erhält, alle nötigen Informationen entnehmen:
Vektoren als Spalten in eine Matrix stellen, mit Zeilenumformungen auf ZSF bringen.
(Hier sieht man dann schon, ob die Vektoren linear unabhängig sind: wenn der Rang der Matrix =der Spaltenzahl, ist das der Fall.)
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen markieren, insbesondere nachschauen, in der wievielten Spalte sie stehen.
Hat man beispielsweise in der 1.,5. und 13 Spalte ein führendes Element, so sind der 1.,5. und 13. der ursprunglich eingesetzen Vektoren eine Basis des erzeugten Teilraumes.
Das ist genau die Umformung, die Du auch zum Bestimmen von Bild und Kern einer Matrix/Abbildung benötigst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Okay das von dir beschriebene Verfahren ist mir bekannt und vom Rechnen her auch ziemlich einfach. Nur zum Verständnis, hier meine Erklärung warum das so geht:
Gegeben seien diese drei Vektoren aus [mm] \IR^{3} \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{5 \\ 10 \\ 15}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2}. [/mm] Abgesehen davon, dass man die den 2. Vektor aus dem 1. erzeugen kann, was man sofort sieht, würde ich doch so vorgehen (ausführlich):
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}*x_{1} [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 10 \\ 15}*x_{2} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}*x_{3} [/mm] = 0
Also folgendes Gleichungssystem:
[mm] 1*x_{1} [/mm] + [mm] 5*x_{2}+2*x_{3} [/mm] = 0
[mm] 2*x_{1} [/mm] + [mm] 10*x_{2}+1*x_{3} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ 3 & 15 & 2 } \Rightarrow \pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
[mm] 3*x_{1} [/mm] + [mm] 15*x_{2}+2*x_{3} [/mm] = 0
Daraus folgt schonmal, dass der [mm] x_{3} [/mm] = 0 und ich kann den ersten Vektor durch den zweiten oder umgekehrt darstellen(oberste Zeile). Der Einfachheit halber nimmt man hier immer den ersten Vektor, wobei prinzipiell auch der Zweite ohne Probleme gehen würde. Daraus folgt unmittelbar, dass zwei der Vektoren lin. unabhängig sind [mm] \Rightarrow [/mm] die drei Vektoren sind linear abhängig.
Da linear unabhängige Vektoren per Definition eine Basis bilden, habe ich somit auch die Basis gefunden.
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> Okay das von dir beschriebene Verfahren ist mir bekannt und
> vom Rechnen her auch ziemlich einfach. Nur zum Verständnis,
> hier meine Erklärung warum das so geht:
> Gegeben seien diese drei Vektoren aus [mm]\IR^{3} \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{5 \\ 10 \\ 15}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
> Abgesehen davon, dass man die den 2. Vektor aus dem 1.
> erzeugen kann, was man sofort sieht, würde ich doch so
> vorgehen (ausführlich):
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}*x_{1}[/mm] + [mm]\vektor{5 \\ 10 \\ 15}*x_{2}[/mm]
> + [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}*x_{3}[/mm] = 0
> Also folgendes Gleichungssystem:
> [mm]1*x_{1}[/mm] + [mm]5*x_{2}+2*x_{3}[/mm] = 0
> [mm]2*x_{1}[/mm] + [mm]10*x_{2}+1*x_{3}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ 3 & 15 & 2 } \Rightarrow \pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> [mm]3*x_{1}[/mm] + [mm]15*x_{2}+2*x_{3}[/mm] = 0
Hallo,
[mm] \pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ 3 & 15 & 2 } \Rightarrow \pmat{ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Die matrix hat den Rang 2, also hat der von den drei vektoren aufgespannte Raum die Dimension 2, dh. die 3 Vektoren sind nicht linear unabhängig.
Führende Zeilenelemente haben wir in Spalte 1 und 3, also sind [mm] (\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{2 \\ 1 \\ 2}) [/mm] eine Basis des aufgespannten Raumes.
> Daraus folgt schonmal, dass der [mm]x_{3}[/mm] = 0 und ich kann den
> ersten Vektor durch den zweiten oder umgekehrt
> darstellen(oberste Zeile).
Ja.
Alle [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-5t, t, 0} [/mm] lösen das Gleichungssystem, eine Lösung ist [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-5, 1, 0},
[/mm]
also ist [mm] -5v_1+v_2=0, [/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Danke! ;) Da kann das Lernen ja weiter gehen...
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