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| Aufgabe | V,W Vektorräume. [mm] f:V\rightarrow [/mm] W ein Homomorphismus. U,U' Unterräume von V mit [mm] V=U\oplus [/mm] U'.
Es gilt zu beweisen: [mm] U\subseteq [/mm] Ker(f) und [mm] f_{|U'} [/mm] injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] U=Ker(f). |
Hallo,
ich habe dazu bereits einen Beweis erstellt, aber irgendwie hapert es noch an einem Detail, was sehr wichtig ist.
Nur mal meine Idee:
Ich will zeigen dimKer(f)=dimKer(U). Daraus folgt die Behauptung.
Dazu brauche ich eine Basis von Bild(f). Dazu habe ich folgendes gemacht:
Es ist [mm] h=f_{|U'}:U'\rightarrow [/mm] W mit [mm] h(x)=f(x)\,\,\,\forall x\in [/mm] U' injektiv. Sei nun [mm] x_{i} [/mm] Basis von U'. Dann sind alle Vektoren [mm] f(x_{i})=c_{i} [/mm] Basis von Bild f.
Kann man das so machen? Oder bekomme ich da nicht vielmehr eine Basis von Bild f eingeschränkt auf U'?
Gruß Sleeper
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> V,W Vektorräume. [mm]f:V\rightarrow[/mm] W ein Homomorphismus.
> U,U' Unterräume von V mit [mm]V=U\oplus[/mm] U'.
> Es gilt zu beweisen: [mm]U\subseteq[/mm] Ker(f) und [mm]f_{|U'}[/mm]
> injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] U=Ker(f).
> Hallo,
>
> ich habe dazu bereits einen Beweis erstellt, aber irgendwie
> hapert es noch an einem Detail, was sehr wichtig ist.
>
> Nur mal meine Idee:
> Ich will zeigen dimKer(f)=dimKer(U). Daraus folgt die
> Behauptung.
>
> Dazu brauche ich eine Basis von Bild(f). Dazu habe ich
> folgendes gemacht:
> Es ist [mm]h=f_{|U'}:U'\rightarrow[/mm] W mit [mm]h(x)=f(x)\,\,\,\forall x\in[/mm]
> U' injektiv. Sei nun [mm]x_{i}[/mm] Basis von U'. Dann sind alle
> Vektoren [mm]f(x_{i})=c_{i}[/mm] Basis von Bild f.
>
> Kann man das so machen? Oder bekomme ich da nicht vielmehr
> eine Basis von Bild f eingeschränkt auf U'?
Hallo,
letzteres bekommst Du.
Trotzdem ist Deine Überlegung nicht unnütz.
Nimm jetzt mal an, daß es ein Element des Kerns gibt, welches nicht in U liegt.
Gruß v. Angela
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> Nimm jetzt mal an, daß es ein Element des Kerns gibt,
> welches nicht in U liegt.
>
> Gruß v. Angela
Dann müsste dieses Element in U' liegen, wäre folglich unter f Basis des Bildes von f, was aber nicht sein kann, da es ja im Kern(f) liegt.
Also Widerspruch. Und damit dimU=dimKer.
Kann man das so sagen?
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> > Nimm jetzt mal an, daß es ein Element des Kerns gibt,
> > welches nicht in U liegt.
>
Hallo,
> Dann müsste dieses Element in U' liegen,
weil ...
> wäre folglich
> unter f Basis des Bildes von f,
Hä?
Was wolltest Du hier sagen? Wieso sollte dieses eine Element oder sein Bild eine Basis des Bildes sein?
> was aber nicht sein kann,
> da es ja im Kern(f) liegt.
> Also Widerspruch. Und damit dimU=dimKer.
>
> Kann man das so sagen?
Bestimmt nicht.
Du hast ja festgestellt, daß für [mm] x\in [/mm] kernf \ U gilt: [mm] x\in [/mm] U'
Was ist f(x)?
Du weißt das f eingeschränkt auf U' injektiv ist. Was weißt Du über den Kern von injektiven Abbildungen?
Was folgt daraus für x und warum kann das nicht sein?
Gruß v. Angela
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