Banachraum/stetig diff. Funkt. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Die Menge [mm] C^{r}[a,b] [/mm] aller r-mal stetig differenzierbaren Funktionen f
auf [a,b] wird mit [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel:= \summe_{p=0}^{r}max|f^{(p)}(x)|
[/mm]
ein Banachraum.
Normkonvergenz [mm] f_{n}\to [/mm] f bedeutet [mm] f_{n}^{(p)}(x)\Rightarrow(glm. [/mm] konv.) [mm] f^{(p)}(x) [/mm] auf [a,b] für p=0,1,...,r. |
Hallo,
ich habe folgendermassen versucht, die Aufgabe zu lösen (ich habe irgendwo im Internet gesehen, dass man diese Aufgabe mit Induktion lösen kann. Diesen Hinweis habe ich jedoch später gefunden. Ich hatte, schon, über diese Idee bei meinen Überlegungen nachgedacht, jedoch dann habe ich diesen Ansatz gewählt...) :
Sei [mm] (f_{n}) [/mm] eine Cauchyfolge aus [mm] C^{r}[a,b] [/mm] . Dann ist [mm] (f_{n}) [/mm] eine Cauchyfolge bzgl. der Maximumnorm. Daraus folgt (nach einem Satz), dass
[mm] (f_{n}) [/mm] gegen eine stetige Funktion f gleichmäßig konvergiert.
Daraus folgerte ich , dass folgendes gilt:
[mm] \varepsilon>\limes_{m\rightarrow\infty}\parallel f_{n}- f_{m} \parallel
[/mm]
[mm] =\parallel f_{n}- [/mm] f [mm] \parallel [/mm] für alle m,n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Daraus folgt [mm] \varepsilon> \parallel f_{n}- [/mm] f [mm] \parallel [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Jetzt habe ich dazu eine Frage:
Aus der letzten Ungleichung könnte man behaupten, dass [mm] (f_{n}) [/mm] bzgl der, in der Aufgabenstellung genannten, Norm gegen f konvergiert.
Das Problem , wie ich finde, ist in der Definition der Konvergenz bei den normierten Räume . Dort steht , dass f aus demselben normierten Raum sein muss, wie [mm] f_{n}. [/mm] Wir wissen jedoch noch nicht, ob f in [mm] C^{r}[a,b] [/mm] liegt. Also , jetzt muss man das nachweisen. Das habe ich so versucht :
aus [mm] \varepsilon> \parallel f_{n}- [/mm] f [mm] \parallel [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] folgt
[mm] \parallel f_{n}- [/mm] f [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \summe_{p=0}^{r}max|f_{n}^{(p)}(x)-f^{(p)}(x)|< \varepsilon.
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] max|f_{n}^{(p)}(x)-f^{(p)}(x)|< \varepsilon [/mm]
für alle n [mm] \ge n_{0}und [/mm] jedes p = 0,..,r. Also konvergiert [mm] (f_{n}^{(p)}) [/mm] gegen [mm] f^{(p)} [/mm] für jedes p=0,...,r, also insbesondere auch für p=0.
f ist damit ein Element aus [mm] C^{r}[a,b]. [/mm] (Hier denke ich, dass etwas unstimmig ist) .
EDIT: ich denke, dass meine letzte Schlussfolgerung nicht korrekt ist. Deshalb bleibt die Frage: wie zeigt man, dass f aus [mm] C^{r}[a,b] [/mm] ist?
Ich bitte um eine Korrektur.
Über den Ansatz per Induktion werde ich nachdenken.
Danke und Gruss !
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mi 09.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> Die Menge [mm]C^{r}[a,b][/mm] aller r-mal stetig differenzierbaren
> Funktionen f
> auf [a,b] wird mit [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel:= \summe_{p=0}^{r}max|f^{(p)}(x)|[/mm]
>
> ein Banachraum.
> Normkonvergenz [mm]f_{n}\to[/mm] f bedeutet
> [mm]f_{n}^{(p)}(x)\Rightarrow(glm.[/mm] konv.) [mm]f^{(p)}(x)[/mm] auf [a,b]
> für p=0,1,...,r.
> Hallo,
>
> ich habe folgendermassen versucht, die Aufgabe zu lösen
> (ich habe irgendwo im Internet gesehen, dass man diese
> Aufgabe mit Induktion lösen kann. Diesen Hinweis habe ich
> jedoch später gefunden. Ich hatte, schon, über diese Idee
> bei meinen Überlegungen nachgedacht, jedoch dann habe ich
> diesen Ansatz gewählt...) :
>
> Sei [mm](f_{n})[/mm] eine Cauchyfolge aus [mm]C^{r}[a,b][/mm] . Dann ist
> [mm](f_{n})[/mm] eine Cauchyfolge bzgl. der Maximumnorm. Daraus
> folgt (nach einem Satz), dass
> [mm](f_{n})[/mm] gegen eine stetige Funktion f gleichmäßig
> konvergiert.
> Daraus folgerte ich , dass folgendes gilt:
> [mm]\varepsilon>\limes_{m\rightarrow\infty}\parallel f_{n}- f_{m} \parallel[/mm]
>
> [mm]=\parallel f_{n}-[/mm] f [mm]\parallel[/mm] für alle m,n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]\varepsilon> \parallel f_{n}-[/mm] f [mm]\parallel[/mm]
> für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich dazu eine Frage:
> Aus der letzten Ungleichung könnte man behaupten, dass
> [mm](f_{n})[/mm] bzgl der, in der Aufgabenstellung genannten, Norm
> gegen f konvergiert.
>
> Das Problem , wie ich finde, ist in der Definition der
> Konvergenz bei den normierten Räume . Dort steht , dass f
> aus demselben normierten Raum sein muss, wie [mm]f_{n}.[/mm] Wir
> wissen jedoch noch nicht, ob f in [mm]C^{r}[a,b][/mm] liegt. Also ,
> jetzt muss man das nachweisen. Das habe ich so versucht :
>
> aus [mm]\varepsilon> \parallel f_{n}-[/mm] f [mm]\parallel[/mm] für alle n
> [mm]\ge n_{0}[/mm] folgt
> [mm]\parallel f_{n}-[/mm] f [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\summe_{p=0}^{r}max|f_{n}^{(p)}(x)-f^{(p)}(x)|< \varepsilon.[/mm]
Hier machst du bereits die Annahme, dass alle Ableitungen [mm] $f^{(p)}$ [/mm] existieren. Bisher hast du doch nur gezeigt, dass f stetig ist.
Aber du bist nah dran: dein Argument, dass die Cauchyfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] gegen eine stetige Funktion f konvergiert, lässt sich auf die Ableitungen übertragen: alle Ableitungen [mm] $f_n^{(p)}$, $p\le [/mm] r$, sind stetige Funktionen. Da [mm] $(f_n)$ [/mm] eine Cauchyfolge bzgl. der Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] ist, sind auch alle Ableitungen Cauchyfolgen bzgl. der Maximumsnorm. Also konvergieren alle Ableitungen gleichmäßig gegen stetige Funktionen. Du musst dir nur noch überlegen, dass diese Grenzfunktionen gerade die Ableitungen der Funktion $f$ sind.
Viele Grüße
Rainer
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