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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei X eine nichtleere Menge und (E, ||.||) ein Banachraum. Für jede Funktion [mm] \phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] E setzen wir: [mm] ||\phi||_\infty:=sup||\phi(x)|| \in \IR_{\ge 0} \cup \{\infty\}, [/mm] wobei x [mm] \in [/mm] X.
Zeigen Sie, dass [mm] B(X,E):=\{\phi|\phi: X \to E, ||\phi||_\infty < \infty\} [/mm] ein Banachraum bezüglich der Norm [mm] ||.||_\infty [/mm] ist. |
</task>
Dies ist mein bisheriges Ergebnis:
Kann ich das so abgeben?
Wo stimmt etwas nicht?
Es sind zweierlei Dinge zu zeigen:
1.) [mm] (B(X,E),||.||_\infty) [/mm] ist normierter Vektorraum.
2.) Vollständigkeit
Zu 1.)
B(X,E) ist Vektorraum: Sei [mm] \phi \in [/mm] B(X,E), so gilt [mm] \phi(x) \in [/mm] E für alle x [mm] \in [/mm] X. Da (E,||.||) nach Voraussetzung Banachraum ist, ist E Vektorraum und somit gelten die Vektorraumaxiome für [mm] \phi [/mm] bzw. [mm] \phi(x).
[/mm]
Noch zu zeigen: [mm] ||.||_\infty [/mm] ist Norm auf B(X,E):
I.
[mm] ||\phi||_\infty =sup||\phi(x)||\ge [/mm] 0 (=0 [mm] \gdw \phi=0)
[/mm]
II.
[mm] ||\alpha*\phi||_\infty =sup||(\alpha*\phi)(x)||=sup|\alpha|*||\phi(x)||=|\alpha|*||\phi||_\infty
[/mm]
III.
[mm] ||\phi+\gamma||_\infty =sup||\phi(x)+\gamma(x)|| \le sup(||\phi(x)||+||\gamma(x)||) \le sup||\phi(x)||+sup||\gamma(x)||=||\phi||_\infty [/mm] + [mm] ||\gamma||_\infty, [/mm] wobei [mm] \phi,\gamma \in [/mm] B(X,E).
Zu 2.)
Sei [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] beliebige Cauchyfolge in B(X,E). Dann ex. ein [mm] N_0 \in \IN [/mm] und ein [mm] \epsilon [/mm] >0, sodass (*) [mm] ||\phi_a(x)-\phi_b(x)||<\epsilon [/mm] für alle a,b [mm] \ge N_0, [/mm] denn für jedes feste x [mm] \in [/mm] X ist [mm] (\phi_n(x))_{n \in \IN} [/mm] Cauchyfolge in E.
[mm] \Rightarrow [/mm] Es ex. eine Funktion [mm] \delta: [/mm] X [mm] \to [/mm] E, die punktweise Limes von [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] ist.
Lässt man b [mm] \to \infty [/mm] laufen in (*), so gilt:
[mm] ||\phi_a(x)-\delta(x)|| \le sup(||\phi_a(x)-\delta(x)||)=||\phi_a-\delta||_\infty [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] kovergiert und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\phi_n)_{n \in \IN} \in [/mm] B(X,E)
Insgesamt folgt aus 1.) und 2.) die Behauptung. [mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X eine nichtleere Menge und (E, ||.||) ein Banachraum.
> Für jede Funktion [mm]\phi:[/mm] X [mm]\to[/mm] E setzen wir:
> [mm]||\phi||_\infty:=sup||\phi(x)|| \in \IR_{\ge 0} \cup \{\infty\},[/mm]
> wobei x [mm]\in[/mm] X.
>
> Zeigen Sie, dass [mm]B(X,E):=\{\phi|\phi: X \to E, ||\phi||_\infty < \infty\}[/mm]
> ein Banachraum bezüglich der Norm [mm]||.||_\infty[/mm] ist.
>
> Dies ist mein bisheriges Ergebnis:
> Kann ich das so abgeben?
> Wo stimmt etwas nicht?
>
>
>
> Es sind zweierlei Dinge zu zeigen:
> 1.) [mm](B(X,E),||.||_\infty)[/mm] ist normierter Vektorraum.
> 2.) Vollständigkeit
>
> Zu 1.)
>
> B(X,E) ist Vektorraum: Sei [mm]\phi \in[/mm] B(X,E), so gilt [mm]\phi(x) \in[/mm]
> E für alle x [mm]\in[/mm] X. Da (E,||.||) nach Voraussetzung
> Banachraum ist, ist E Vektorraum und somit gelten die
> Vektorraumaxiome für
Soweit ok, bis auf das hier:
> [mm]\phi[/mm] bzw. [mm]\phi(x).[/mm]
Das sind Elemente, jedoch keine Vektorraeume! Damit gelten die Vektorraumaxiome dafuer auch nicht!
> Noch zu zeigen: [mm]||.||_\infty[/mm] ist Norm auf B(X,E):
> I.
> [mm]||\phi||_\infty =sup||\phi(x)||\ge[/mm] 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (=0 [mm]\gdw \phi=0)[/mm]
Warum?
> II.
> [mm]||\alpha*\phi||_\infty =sup||(\alpha*\phi)(x)||=sup|\alpha|*||\phi(x)||=|\alpha|*||\phi||_\infty[/mm]
> III.
> [mm]||\phi+\gamma||_\infty =sup||\phi(x)+\gamma(x)|| \le sup(||\phi(x)||+||\gamma(x)||) \le sup||\phi(x)||+sup||\gamma(x)||=||\phi||_\infty[/mm]
> + [mm]||\gamma||_\infty,[/mm] wobei [mm]\phi,\gamma \in[/mm] B(X,E).
Du soltest aber jeweils sagen, was [mm] $\alpha$, $\phi$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] sind.
> Zu 2.)
>
> Sei [mm](\phi_n)_{n \in \IN}[/mm] beliebige Cauchyfolge in B(X,E).
> Dann ex. ein [mm]N_0 \in \IN[/mm] und ein [mm]\epsilon[/mm] >0, sodass (*)
> [mm]||\phi_a(x)-\phi_b(x)||<\epsilon[/mm] für alle a,b [mm]\ge N_0,[/mm]
> denn für jedes feste x [mm]\in[/mm] X ist [mm](\phi_n(x))_{n \in \IN}[/mm]
> Cauchyfolge in E.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es ex. eine Funktion [mm]\delta:[/mm] X [mm]\to[/mm] E, die
> punktweise Limes von [mm](\phi_n)_{n \in \IN}[/mm] ist.
>
> Lässt man b [mm]\to \infty[/mm] laufen in (*), so gilt:
>
> [mm]||\phi_a(x)-\delta(x)|| \le sup(||\phi_a(x)-\delta(x)||)=||\phi_a-\delta||_\infty[/mm]
> < [mm]\epsilon.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (\phi_n)_{n \in \IN}[/mm] kovergiert und
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} (\phi_n)_{n \in \IN} \in[/mm] B(X,E)
>
>
>
> Insgesamt folgt aus 1.) und 2.) die Behauptung. [mm]\Box[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
...für die Antwort und die Hilfe!
Schön, dass ich mal etwas (fast ganz) richtig gemacht habe! Das hat Seltenheitswert!
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