BINGO - Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 18.10.2013 | | Autor: | John_D |
| Aufgabe | Beim norddeutschen Bingo ("die Umweltlotterie") werden 22 Zahlen aus {1,...,75} ohne Zurücklegen gezogen. Die Wettscheine sind Quadrate mit 5x5 Feldern. In der ersten Spalte stehen Zahlen zwischen 1 und 15, in der zweiten Zahlen von 16 bis 30 usw.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 Zahlen aus der ersten Spalte gezogen werden.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine Zahlen aus der ersten Spalte (also zwischen 1 und 15) gezogen werden.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in mindestens einer Spalte keine Zahlen gezogen werden. |
Hallo alle zusammen,
also mein Lösungsansatz für a) ist:
Sei G die Menge aller Ergebnissen.(Ich nehme G da Ω im Bruch nicht gezeigt wird...) |G| = [mm] \vektor{75 \\ 22}.
[/mm]
Sei A die Menge aller Ergebnissen, die die Bedinung von a) erfüllen.
Für die erste der 8 Zahlen die in der esten Spalte gehören haben wir 15 Möglichkeiten, für die zweite 14... für die achte 8. Also [mm] \vektor{15 \\ 8}
[/mm]
Für die restlichen 14 Zahlen haben wir haben wir die 60 Zahlen aus den 4 restlichen Spalten plus die 7 Zahlen die noch in der ersten Spalte gehören (wird nicht ausgeschlossen) also [mm] \vektor{67 \\ 14}
[/mm]
|A| = [mm] \vektor{15 \\ 8} \* \vektor{67 \\ 14}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit ist also P(A) = [mm] \bruch{|A|}{|G|} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{15 \\ 8} \* \vektor{67 \\ 14}}{\vektor{75 \\ 22}} \approx [/mm] 0.121967483
Analog zu a) haben wir bei b):
Sei B die Menge aller Ergebnissen, die die Bedinung von b) erfüllen.
Dass heisst es gibt für die erste Zahl nur 60 Möglichkeiten, für die zweite 59 usw. also |B| = [mm] \vektor{60 \\ 22}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit ist also P(B) = [mm] \bruch{|B|}{|G|} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{60 \\ 22}}{\vektor{75 \\ 22}} \approx [/mm] 0.002741365
Nun zu meinen Fragen.
* Warum ist mein Ansatz für a) Falsch.
* Ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass keine Zahlen aus der ersten Spalte gezogen werden gleich der Wahrscheinlichkeit das in mindestens einer Spalte keine Zahlen gezogen werden. (Alle Zahlen haben doch die gleiche Wahrscheinlichkeit und da sollte es egal sein ob es Zahlen aus der erste oder Zahlen aus der letzten Spalte sind...)
Ich bin gespannt auf eure Antworten!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Fr 18.10.2013 | | Autor: | glie |
> Beim norddeutschen Bingo ("die Umweltlotterie") werden 22
> Zahlen aus {1,...,75} ohne Zurücklegen gezogen. Die
> Wettscheine sind Quadrate mit 5x5 Feldern. In der ersten
> Spalte stehen Zahlen zwischen 1 und 15, in der zweiten
> Zahlen von 16 bis 30 usw.
>
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8
> Zahlen aus der ersten Spalte gezogen werden.
> b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine Zahlen
> aus der ersten Spalte (also zwischen 1 und 15) gezogen
> werden.
> c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in
> mindestens einer Spalte keine Zahlen gezogen werden.
> Hallo alle zusammen,
>
> also mein Lösungsansatz für a) ist:
>
> Sei G die Menge aller Ergebnissen.(Ich nehme G da Ω im
> Bruch nicht gezeigt wird...) |G| = [mm]\vektor{75 \\ 22}.[/mm]
>
> Sei A die Menge aller Ergebnissen, die die Bedinung von a)
> erfüllen.
> Für die erste der 8 Zahlen die in der esten Spalte
> gehören haben wir 15 Möglichkeiten, für die zweite 14...
> für die achte 8. Also [mm]\vektor{15 \\ 8}[/mm]
> Für die
> restlichen 14 Zahlen haben wir haben wir die 60 Zahlen aus
> den 4 restlichen Spalten plus die 7 Zahlen die noch in der
> ersten Spalte gehören (wird nicht ausgeschlossen) also
> [mm]\vektor{67 \\ 14}[/mm]
> |A| = [mm]\vektor{15 \\ 8} \* \vektor{67 \\ 14}[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit ist also P(A) = [mm]\bruch{|A|}{|G|}[/mm] =
> [mm]\bruch{\vektor{15 \\ 8} \* \vektor{67 \\ 14}}{\vektor{75 \\ 22}} \approx[/mm]
> 0.121967483
>
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> Analog zu a) haben wir bei b):
>
> Sei B die Menge aller Ergebnissen, die die Bedinung von b)
> erfüllen.
> Dass heisst es gibt für die erste Zahl nur 60
> Möglichkeiten, für die zweite 59 usw. also |B| =
> [mm]\vektor{60 \\ 22}[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit ist also P(B) = [mm]\bruch{|B|}{|G|}[/mm] =
> [mm]\bruch{\vektor{60 \\ 22}}{\vektor{75 \\ 22}} \approx[/mm]
> 0.002741365
>
> Nun zu meinen Fragen.
> * Warum ist mein Ansatz für a) Falsch.
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
woher weisst du, dass dein Ergebnis bei a) falsch ist?
Ich hätte das genauso gerechnet und halte das Ergebnis für korrekt.
> * Ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass keine Zahlen aus
> der ersten Spalte gezogen werden gleich der
> Wahrscheinlichkeit das in mindestens einer Spalte keine
> Zahlen gezogen werden. (Alle Zahlen haben doch die gleiche
> Wahrscheinlichkeit und da sollte es egal sein ob es Zahlen
> aus der erste oder Zahlen aus der letzten Spalte sind...)
Na da irrst du, denn es gibt ja zum Beispiel schon wesentlich mehr Ziehungen, bei denen genau eine Spalte frei bleibt, als Ziehungen, bei denen ausgerechnet genau die erste Spalte frei bleibt.
Was du meinst ist folgendes:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Spalte frei bleibt ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die vierte Spalte frei bleibt.
Gruß Glie
>
> Ich bin gespannt auf eure Antworten!!!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:23 Sa 19.10.2013 | | Autor: | John_D |
Vielen Dank für die Antwort!!!
> Na da irrst du, denn es gibt ja zum Beispiel schon
> wesentlich mehr Ziehungen, bei denen genau eine Spalte frei
> bleibt, als Ziehungen, bei denen ausgerechnet genau die
> erste Spalte frei bleibt.
Jetzt habe ich meinen Denkfehler für c) verstanden.
Also muss ich für c) die Wahrscheinlichkeit dass in der ersten Spalte keine Zahl gezogen wird mit der Wahrscheinlichkeit dass in der zweiten Spalte keine Zahl gezogen wird mit... vereinigen.
Sei C die Menge aller Ergebnissen, die die Bedinung von c) erfüllen.
Nehmen wir auch an dass die Wahrscheinlichkeit dass in der erste Spalte keine Zahl gezogen wird P(A1) ist und für die zweite P(A2) usw.
P(C) = P(A1) [mm] \cup [/mm] P(A2) [mm] \cup [/mm] P(A3) [mm] \cup [/mm] P(A4) [mm] \cup [/mm] P(A5) [Natürlich unter Verwendung des Additionsatzes...]
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Spalte frei
> bleibt ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür,
> dass die vierte Spalte frei bleibt.
Also allgemein P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = P(A5). Aber P(C) [mm] \not= [/mm] P(A1).
> woher weisst du, dass dein Ergebnis bei a) falsch ist?
> Ich hätte das genauso gerechnet und halte das Ergebnis
> für korrekt.
Naja, mein Professor hat meinen Lösungsansatz ein paar Sekunden angeschaut und mir gesagt dass er Falsch ist, da die Wahrscheinlichkeit von 12% viel zu groß ist.
Er hat es mithilfe der hypogeometrischen Verteilung gelöst:
Also h(K | N, M, n)
P(8) = h(8 | 75, 15, 22) [mm] \approx [/mm] 0.00216
P(9) [mm] \approx [/mm] 0.005
...
P(15) ...
P(mindestens 8) = P(8) + P(9) + ... + P(15) [mm] \approx [/mm] 0.0275
Warum die hypogeometrische Verteilung verwendet wird habe ich auch noch nicht verstanden...
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Hallo,
hier mal eine Antwort nur auf deine letzte Frage (ich stelle daher auf 'teilweise beantwortet'):
Das Spiel lässt sich direkt mit dem Urnenmodell 'Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge' identifizieren. Außerdem interessiert dich bei den Kugeln ja nur, ob sie zu einer bestimmten Spalte gehören oder nicht (=Treffer oder Niete). Das erklärt dann eben die Verwendung der Hypergeometrischen Verteilung.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 21.10.2013 | | Autor: | John_D |
Vielen Dank für alle Antworten!!!
für a)
Also jetzt habe ich verstanden dass die Formel der hypogeometrischen Verteilung gleich meines Lösungsansatzes ist, mit dem Unterschied dass der Lösungsansatz mit der hypogeometrischen Verteilung die Wahrscheinlichkeit ,dass genau 8 Zahlen aus der ersten Spalte gezogen werden bis zur Wahrscheinlichkeit dass genau 15 Zahlen aus der ersten Spalte gezogen werden, "addiert" werden und so die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 8 Zahlen aus der ersten Spalte gezogen werden herauskommt.
Jetzt verstehe ich nicht warum mein Lösungsansatz auf dass Falsche Ergebniss kommt.
Denn h(8 | 75,15,22) = [mm] \bruch{\vektor{15 \\ 8} \* \vektor{60 \\ 14}}{\vektor{75 \\ 22}} [/mm] Dass ist eben die Wahrscheinlichkeit für genau 8 Zahlen aus der ersten Spalte.
Ich habe mir gedacht, wenn wir statt [mm] \vektor{60 \\ 14}, [/mm] die 60 mit 67 ersetzen, also die restlichen 7 Zahlen (15-8) die in der ersten Spalte sind zu der Menge der restlichen Zahlen addieren [also: [mm] \vektor{67 \\ 14}] [/mm] und so auf die Wahrscheinlichkeit ,dass MINDESTENS 8 Zahlen aus der ersten Splate gezogen werden, kommen.
Wieso komme ich nicht auf das selbe Ergebniss, bzw wieso ist mein Lösungsweg Falsch?
Tut mir Leid wenn ich die ganze Zeit blöde Fragen stelle, die eigentlich Trivial hätten sein müssen, aber mein Kopf will das einfach nicht verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:26 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo John_D und auch von mir ein herzliches !
> für a)
> Jetzt verstehe ich nicht warum mein Lösungsansatz auf dass
> Falsche Ergebniss kommt.
>
> Denn h(8 | 75,15,22) = [mm]\bruch{\vektor{15 \\ 8} \* \vektor{60 \\ 14}}{\vektor{75 \\ 22}}[/mm]
> Dass ist eben die Wahrscheinlichkeit für genau 8 Zahlen
> aus der ersten Spalte.
>
> Ich habe mir gedacht, wenn wir statt [mm]\vektor{60 \\ 14},[/mm] die
> 60 mit 67 ersetzen, also die restlichen 7 Zahlen (15-8) die
> in der ersten Spalte sind zu der Menge der restlichen
> Zahlen addieren [also: [mm]\vektor{67 \\ 14}][/mm] und so auf die
> Wahrscheinlichkeit ,dass MINDESTENS 8 Zahlen aus der ersten
> Splate gezogen werden, kommen.
>
> Wieso komme ich nicht auf das selbe Ergebniss, bzw wieso
> ist mein Lösungsweg Falsch?
Du zählst die Ergebnisse mit mehr als 8 Zahlen aus der ersten Spalte mehrfach.
Betrachten wir z.B. das Ergebnis, dass die Zahlen von 1 bis 22 gezogen werden:
Eine Betrachtungsweise wäre z.B., dass die Zahlen von 1 bis 8 aus der ersten Spalte stammen und die Zahlen von 9 bis 22 aus den 67 restlichen Zahlen ausgewählt wurden.
Eine andere Betrachtungsweise wäre beispielsweise, dass die Zahlen von 2 bis 9 aus der ersten Spalte stammen und die Zahlen 1 sowie 10 bis 22 aus den 67 restlichen Zahlen ausgewählt wurden.
Beide Betrachtungsweisen zählst du getrennt mit.
Damit hast du das Ergebnis, dass die Zahlen von 1 bis 22 gezogen werden, schon mindestens doppelt gezählt.
(Insgesamt zählst du dieses Ergebnis statt einmal sogar [mm] $\binom{15}{8}$ [/mm] mal mit.)
Viele Grüße
Tobias
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