BAYESsche Regel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Die vorliegenden Testverfahren zum Nachweis einer HIV Infektion haben mittlerweile eine hohe Sicherheit (Sensitivität). Bei 99,9 % der tatsächtlich Infizierten erfolgt eine positive Testreaktion; nur 0,3 % der nichtinfizierten Testpersonen wird irrtümlich eine Infektion angezeigt (Spezifität 99,7%).
Man kann heute davon ausgehen das etwas 0,1 % der Bevölkerung in Deutschland HIV Infiziert ist.
a.) Stelle fie Informationen in Form eines Baumdiagramms dar und bestimme hiermit die zugehörige Vierfeldertafel
b.) Angenommen eine Person werde zufälig ausgewhlt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Vorliegen eines positivem Testergebnis tatsächtlich eine Infektion vorliegt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das bei einem negativem Testergebnis dennoch eine Infektion vorliegt? Warum erscheint das Rechenergebnis so paradox? |
So,
haben nun ein neues Thema in Mathe.
Stochastik.
Schon irgendwie komisch.
Aber kommen wir mal zu a.)
Gegebene Angaben :
0,1 % der Bevölkerung von Deutschland ist HIV - Positiv
Infizierten :
99,9 % erfolgt bei einem Test eine pos. Reaktion.
0,1 % erfolgt bei einem Test eine neg. (Falsche) Reaktion.
Nicht infizierte :
0,3 % irrtümlicher Test
99,7 % richtiger Test.
Wenn ich daraus nun eine Vierfeldertafel erstellen soll dann sehe das so aus. Hoffe das es hier Funktioniert.
Kranke Gesung Gesamt
Personen Personen
Richtiger Test 99,9 % 99,7 &
Falscher Test 0,1 % 0,3 %
Gesamt 100 %
Baumdiagramm kann ich hier schlecht darstellen.
Aber hoffe das man das mit der Vierfeldertafel erkennen kann.
Zur Aufgabe b.)
Hier scheint mir an den Ergebnissen nichts Paradox.
Aber die Frage finde ich komisch.
Naja, habe nach dem Rückschlussverfahren auf die Wahrscheinlichkeiten geschlossen.
Und komme dann auf das Ergebnis :
Die Wahrscheinlichkeit wäre 99,9 % hoch, dass eine Person, der ein positives Testergebnis gezeigt wird, auch wirklich eine Infektion vorliegt.
Die Wahrscheinlichkeit, das bei einem negativen Testergebnis dennoch eine Infektion vorliegt beträgt 0,3 %.
Aber Paradox?
Weiß nicht, nur mehr als in der Aufgabenstellung stand, habe ich mit dem Rechnen auch nicht rausbekommen.
Komisch.
Wäre nett wenn ihr mir irgendwie helft.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 19.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo Kristof!
> Gegebene Angaben :
> 0,1 % der Bevölkerung von Deutschland ist HIV - Positiv
>
> Infizierten :
> 99,9 % erfolgt bei einem Test eine pos. Reaktion.
> 0,1 % erfolgt bei einem Test eine neg. (Falsche)
> Reaktion.
>
> Nicht infizierte :
> 0,3 % irrtümlicher Test
> 99,7 % richtiger Test.
Ich würde hier - und bei deiner Vierfeldtafel - nicht bereits von "irrtümlich" und "richtig" sprechen, sondern, so wie es in der Aufgabenstellung steht, von "positivem" bzw. "negativem" Testergebnis. Ich glaube, dann sind die Zusammenhänge etwas klarer.
> Naja, habe nach dem Rückschlussverfahren auf die
> Wahrscheinlichkeiten geschlossen.
> Und komme dann auf das Ergebnis :
"Rückschlussverfahren" ist die Bayes'sche Formel? Wie genau bist du auf die Ergebnisse gekommen?
Ich komme für die Teilaufgaben von b) auf
P(HIV | pos. Test) = 25%
P(HIV | neg. Test) = 0,0001% ... (ohne Gewähr)
Vllt. hast du einfach die falschen Werte eingesetzt. Schreib doch mal deinen Rechenweg auf.
Gruß,
Carsten
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof!
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> > Gegebene Angaben :
> > 0,1 % der Bevölkerung von Deutschland ist HIV - Positiv
> >
> > Infizierten :
> > 99,9 % erfolgt bei einem Test eine pos. Reaktion.
> > 0,1 % erfolgt bei einem Test eine neg. (Falsche)
> > Reaktion.
> >
> > Nicht infizierte :
> > 0,3 % irrtümlicher Test
> > 99,7 % richtiger Test.
>
> Ich würde hier - und bei deiner Vierfeldtafel - nicht
> bereits von "irrtümlich" und "richtig" sprechen, sondern,
> so wie es in der Aufgabenstellung steht, von "positivem"
> bzw. "negativem" Testergebnis. Ich glaube, dann sind die
> Zusammenhänge etwas klarer.
>
> > Naja, habe nach dem Rückschlussverfahren auf die
> > Wahrscheinlichkeiten geschlossen.
> > Und komme dann auf das Ergebnis :
>
> "Rückschlussverfahren" ist die Bayes'sche Formel? Wie genau
> bist du auf die Ergebnisse gekommen?
>
> Ich komme für die Teilaufgaben von b) auf
>
> P(HIV | pos. Test) = 25%
> P(HIV | neg. Test) = 0,0001% ... (ohne Gewähr)
>
> Vllt. hast du einfach die falschen Werte eingesetzt.
> Schreib doch mal deinen Rechenweg auf.
Also ich habe es so ausgerechnet.
Wenn eine Person einen positiven Test bestätigt bekommt dann habe ich das so gerechnet.
0,1 % der Bevölkerung haben HIV.
Die Chance, dass eine Person von denen einen richtigen Test hat ist 99,9 % die das der Test falsch ist bei 0.1 %.
Habe dann einmal gerechnet :
[mm] \bruch{0,999}{0,001} [/mm] = 99,9 %
Bei der anderen Frage, das bei negativem Ergebnis dennoch eine Infektion besteht habe ich gerechnet.
0,001 * 0,001 und komme dann auf 0,00001
Aber hier komme ich irgendwie durcheinander :-(
> Gruß,
> Carsten
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 19.02.2007 | | Autor: | smee |
> Also ich habe es so ausgerechnet.
> Wenn eine Person einen positiven Test bestätigt bekommt
> dann habe ich das so gerechnet.
> 0,1 % der Bevölkerung haben HIV.
> Die Chance, dass eine Person von denen einen richtigen Test
> hat ist 99,9 % die das der Test falsch ist bei 0.1 %.
>
> Habe dann einmal gerechnet :
> [mm]\bruch{0,999}{0,001}[/mm] = 99,9 %
Hm. Das ist aber nicht das, was gesucht ist, oder? Mir ist grad auch nicht klar, wie du überhaupt auf die Formel da kommst ...
Um die gegebenen Werte noch mal etwas formaler aufzuschreiben:
[mm]P(HIV) = 0,001[/mm] -- WS Personen, die HIV-infiziert sind
[mm]P(\overline{HIV}) = 0,999[/mm] -- WS Personen, die nicht HIV-infiziert sind
Außerdem bekannt sind nun die folgenden bedingten (!) Wahrscheinlichkeiten:
[mm]P(pos. Test | HIV) = 0,999[/mm]
[mm]P(neg. Test | HIV) = 0,001[/mm]
-- Unter der Voraussetzung, dass jemand also HIV-infiziert ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen positiven bzw. negativen Test 99,9% bzw. 0,1%
[mm]P(pos. Test | \overline{HIV}) = 0,003[/mm]
[mm]P(neg. Test | \overline{HIV}) = 0,997[/mm]
So, was nun in Aufgabe b) gefragt ist, sind die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:
[mm]P(HIV | pos. Test)[/mm] und [mm]P(HIV | neg. Test)[/mm]
Diese kannst du mit dem Satz von Bayes ausrechnen. Schau dir den einfach noch mal an und vergleiche das mit den Vorgaben, wie ich sie aufgeschrieben habe, dann sollte es eigentlich klappen  (ansonsten nochmal fragen)
Beachte dabei noch, dass du die WS [mm]P(pos. Test)[/mm] und [mm]P(neg. Test)[/mm] erst noch ausrechnen musst!
Und, wie gesagt, es reicht hier, zwischen positivem und negativem Testergebnis zu unterscheiden, statt zwischen richtig und falsch. (Ich glaube, das führt sonst nur zu Verwirrung )
Gruß,
Carsten
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