Axiomatische Mengenlehre < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Do 10.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Definition 2.2
Seien A und B Mengen, so definieren wir dies geordnete Paar (A, B) als
[mm] \{\{A\}, \{A, B\}\}. [/mm]
Mit dieser Definition arbeiten wir dann später...aber was ich nicht so recht Begreife ist: wozu das ganze. Wir haben 2 Mengen A und B und fügen sie zu einem geordneten Wertepaar zusammen. (habe bei wikipedia gelesen was es ist: allem anschein nichts besonderes, wenn falsch bitte um Aufklärung).
Und nun definieren wir dieses Wertepaar als Menge von der Menge A und der Menge A, B. Ich finde das irgendwie komplex und unnötig, bzw meine Frage ist:
hat es einen Bestimmten Grund, warum wir ein Wertepaar so komplizert definieren?!
Bzw hat die Definition (definition des Wertepaares (A, B)) eine Kausalität bezüglich der allgemeinen Defintion eines Wertepaares oder ist dies von uns willkürlich gewählt?
Wenn ja, warum so komplex?!
Weiterhin sind wir hierrauf gekommen:
Wir wollen die Menge der geordneten Paare finden. Seien A, B mengen sind a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B
(a, b): = [mm] \{\{a\}, \{a, b\}\}
[/mm]
D.h. [mm] \{a\} \subset AvB\{a,b\} \subset [/mm] AvB
D.h. [mm] {a\}, \{a, b\} \in [/mm] P(AvB)
D.h. (a, b): = [mm] \{\{a\}, \{a, b\}\} \in [/mm] P(P(AvB))
Hierbei versteh ich echt gar nichts wie wir jeden einzelenen Schritt gemacht haben...
Danach kam diese Defintion 2.4
Sind A und B Mengen D.h. AxB: = [mm] \{ (a, b) \in P(P(AvB)) | \exists a \in A, b \in B: y=(a,b)\} [/mm]
das soll dann das Katesische Produkt sein :P diesen Ausdruck versteh ich nicht habe echt über ne std nachgedacht...warum Potenzmenge der Potenzemenge AvB, was heißt das überhaupt...und warum endet das alles mit y = (a,b)? Bis dahin sehe ich überhaupt keinen Zusammenhang...
Das Bsp hierzu war auch nicht hilfreich; Sei A= [mm] \IR [/mm] und B = [mm] \IR [/mm] dann ist [mm] \IR x\IR= \IR [/mm] zum quadrat...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Verzweifelter Gruß Georg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Fr 11.09.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Definition 2.2
> Seien A und B Mengen, so definieren wir dies geordnete Paar
> (A, B) als
> [mm]\{\{A\}, \{A, B\}\}.[/mm]
>
> Mit dieser Definition arbeiten wir dann später...aber was
> ich nicht so recht Begreife ist: wozu das ganze.
Weil du den Begriff 'geordnetes Paar' im Rahmen der Mengenlehre einführen willst (oder mußt). Das geordnete Paar (a, b) ist ja etwas anderes als die Menge {a, b}, weil beim geordneten Paar wichtig ist, wer vorne und wer hinten steht. Im Rahmen der Mengenlehre gibt es vorne, hinten, rechts, links zunächst aber nicht, das sind Vokabeln der Umgangssprache.
Du kannst ja mal versuchen, geordnete Paare auf andere (eigene) Weise einzuführen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:13 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Und was ist nun mit dem Kreuzprodukt und der komischen herleitung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Sa 12.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> Definition 2.2
> Seien A und B Mengen, so definieren wir dies geordnete Paar
> (A, B) als
> [mm]\{\{A\}, \{A, B\}\}.[/mm]
>
> Mit dieser Definition arbeiten wir dann später...aber was
> ich nicht so recht Begreife ist: wozu das ganze. Wir haben
> 2 Mengen A und B und fügen sie zu einem geordneten
> Wertepaar zusammen. (habe bei wikipedia gelesen was es ist:
> allem anschein nichts besonderes, wenn falsch bitte um
> Aufklärung).
> Und nun definieren wir dieses Wertepaar als Menge von der
> Menge A und der Menge A, B. Ich finde das irgendwie komplex
> und unnötig, bzw meine Frage ist:
> hat es einen Bestimmten Grund, warum wir ein Wertepaar so
> komplizert definieren?!
Du hast nur die Axiome der Mengenlehre zur Verfügung und willst alles darauf zurückführen. Das ist halt manchmal scheinbar kompliziert.
Es geht eigentlich mehr darum, dass man überhaupt geordnete Paare als Mengen auffassen kann.
> Bzw hat die Definition (definition des Wertepaares (A, B))
> eine Kausalität bezüglich der allgemeinen Defintion eines
> Wertepaares oder ist dies von uns willkürlich gewählt?
> Wenn ja, warum so komplex?!
Verstehe ich nicht. Was ist die "allgemeine Definition eines Wertepaares"?
> Weiterhin sind wir hierrauf gekommen:
> Wir wollen die Menge der geordneten Paare finden. Seien A,
> B mengen sind a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm] B
>
> (a, b): = [mm]\{\{a\}, \{a, b\}\}[/mm]
Hier gibt es nichts zu verstehen. Das ist eine Definition.
>
> D.h. [mm]\{a\} \subset AvB\{a,b\} \subset[/mm] AvB
Mit AvB ist einfach die Vereinigung [mm] $A\cup [/mm] B$ gemeint. Offensichtlich ist [mm] $\{a\},\{a,b\}\subset A\cup [/mm] B$ eine wahre Aussage.
> D.h. [mm]{a\}, \{a, b\} \in[/mm] P(AvB)
Das ist nur eine elegantere Schreibweise für die obere Zeile.
> D.h. (a, b): = [mm]\{\{a\}, \{a, b\}\} \in[/mm] P(P(AvB))
Ja klar, wenn [mm] $\{a\}$ [/mm] und [mm] $\{a,b\}$ [/mm] in [mm] $P(A\cup [/mm] B)$ liegen, dann ist [mm] $\{\{a\}, \{a, b\}\} \in P(P(A\cup [/mm] B))$.
> Danach kam diese Defintion 2.4
> Sind A und B Mengen D.h. AxB: = [mm]\{ (a, b) \in P(P(AvB)) | \exists a \in A, b \in B: y=(a,b)\}[/mm]
> das soll dann das Katesische Produkt sein :P diesen
> Ausdruck versteh ich nicht habe echt über ne std
> nachgedacht...
> warum Potenzmenge der Potenzemenge AvB, was
> heißt das überhaupt...
Potenzmenge kennst du: Menge aller Teilmengen. Oben haben wir ja gesehen, dass ein geordnetes Paar ein Element in [mm] $P(P(A\cup [/mm] B))$ ist. Das kartesische Produkt von A und B ist nun einfach die Menge der geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element aus A und zweite Komponente ein Element aus B ist.
> und warum endet das alles mit y = (a,b)?
Das ist auch falsch, es müsst wohl heißen: [mm] $$A\times B:=\{y\in P(P(A\cup B)) | \exists a \in A, b \in B: y=(a,b)\}$$ [/mm]
> Das Bsp hierzu war auch nicht hilfreich; Sei A= [mm]\IR[/mm] und B =
> [mm]\IR[/mm] dann ist [mm]\IR x\IR= \IR[/mm] zum quadrat...
Das Beispiel finde ich auch sinnlos. Besser: [mm] $A=\{1,2\}$, $B=\{\xi,\IR\}$, [/mm] dann ist [mm] $A\times B=\{(1,\xi),(2,\xi),(1,\IR),(2,\IR)\}$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
|
