Axiom of Continuity < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Sa 06.02.2010 | | Autor: | FuguFish |
| Aufgabe | [mm]Let A_n, n \in N [/mm] be an infinite sequence of downwards nested sets [mm] (A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq A_n)[/mm] with limit [mm] A_\infty\ =\cap_n \in\ N \ A_n[/mm].
Then [mm]A_n \lim[/mm] from the right =[mm] \emptyset=>
P(A_n)->0[/mm].
Show that countable additivity implies continuity (the equation above). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So sieht's aus (ich hoffe, ich hab alles einigermaßen richtig eingetragen- habe nie vorher TeX benutzt).
Was wir da machen sollen, ist zum einen zeigen, dass, wie schon gesagt, countable additivity (zählbare Additivität? kann die deutschen Bezeichnungen nicht so gut :/) Kontinuität/Stetigkeit impliziert.
Wäre super, wenn mir jemand zumindest einen kleinen Ansatz geben würde :)
Grüße und danke im Voraus
Falls Unklarheiten herrschen sollten, einfach fragen
Fugu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]Let A_n, n \in N[/mm] be an infinite sequence of downwards
Ist das [m]\IN[/m] hier, oder?
> nested sets [mm](A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq A_n)[/mm]
> with limit [mm]A_\infty\ =\cap_n \in\ N \ A_n[/mm].
Heißt dies, dass der Schnitt ne Nullmenge ist?
> Then [mm]A_n \lim[/mm]
> from the right =[mm] \emptyset=>
P(A_n)->0[/mm].
Was soll "from the right" hier sein? Außerdem betrachtet ihr endliche Maße, oder?
> So sieht's aus (ich hoffe, ich hab alles einigermaßen
> richtig eingetragen- habe nie vorher TeX benutzt).
Für den ersten Versuch war das gut, wenn ich auch nicht alles kapier ;)
> Was wir da machen sollen, ist zum einen zeigen, dass, wie
> schon gesagt, countable additivity (zählbare Additivität?
[m]\sigma-[/m]Additivität.
> kann die deutschen Bezeichnungen nicht so gut :/)
> Kontinuität/Stetigkeit impliziert.
>
> Wäre super, wenn mir jemand zumindest einen kleinen Ansatz
> geben würde :)
Teile [m]A_1[/m] auf in [m](A_1\setminus A_2)\cup (A_2\setminus A_3)\ldtos \cup (A_{n+1}\setminus A_n)[/m]. Stelle das als eine Summe dar.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | FuguFish |
Richtig, das N ist das N für natürliche Zahlen
limit from the right = Limes von rechts? ich habe echt keinen blassen Schimmer, wie das alles im Deutschen geschrieben wird.
oder auch Limes von oben? bzw. einseitiger Limes
Hier ein Link zu nem Bild, das wahrscheinlich mehr aussagt als meine Sätze :P
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/symbolic/left_right_lims.gif
zu den Teilmengen: es sollte eigentlich A1 A2 A3 ... An werden, aber irgendwie hab ich das nicht hingekriegt- also keine endliche Reihe, sondern eine Unendliche, da n->unendlich
[mm]A_\infty\ =\cap_n\ \in\ \IN\ A_n [/mm] kann auch als [mm]\[{A_n \downarrow \ A_\infty \][/mm] geschrieben werden.
Mit der Summe am Ende ist mir schon fast geholfen, wenn ich allerdings [mm] \ A_n [/mm] statt [mm] \ A_1 [/mm] habe, teile ich [mm] \ A_n [/mm] dann in unendlich viele Summen auf?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Richtig, das N ist das N für natürliche Zahlen
Und das andere N?
> limit from the right = Limes von rechts? ich habe echt
> keinen blassen Schimmer, wie das alles im Deutschen
> geschrieben wird.
Dann sag mir, wie ihr es definiert habt. Das reicht mir - auch auf English. no problem.
> zu den Teilmengen: es sollte eigentlich A1 A2 A3 ... An
> werden, aber irgendwie hab ich das nicht hingekriegt- also
> keine endliche Reihe, sondern eine Unendliche, da
> n->unendlich
Ist mir klar.
> Mit der Summe am Ende ist mir schon fast geholfen, wenn ich
> allerdings [mm]\ A_n[/mm] statt [mm]\ A_1[/mm] habe, teile ich [mm]\ A_n[/mm] dann in
> unendlich viele Summen auf?
??? Du sollst die Summe für ein fixes, aber beliebiges n erstmal ausrechnen. Und dann [m]n\to\infty[/m] betrachten. Mir war klar, dass dies nicht die komplette Lösung ist, du wolltest ja nur nen Denkanstoß ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Sa 06.02.2010 | | Autor: | FuguFish |
Unsere Definition:
Let I be an interval containing c and let f be a function, defined at all [mm]x \in\ \IR\[/mm], except perhaps c. We say that f has a limit from the right at c if there is an [mm]l\ \in\ \IR\[/mm] such that for any sequence [mm]\ x_n=1 \to \infty\[/mm] in I at the right-hand side of c and converging to c,
[mm]\lim_{n \downarrow \ c}f(x)=l[/mm]
Das ist die Definition für ein Limit von rechts, die wir benutzen.
Zu Letzterem, ich war mir nicht sicher, ob du mich richtig verstanden hattest, weil meine TeX Skills nun noch nicht sonderlich ausgereift sind und ich sehr gut nachvollziehen kann, wenn da einer nur Bahnhof versteht bzw. mich missversteht.
Alle N's sind "natürliche Zahlen N's", die kleinen n's sind selbsterklärend denke ich.
Trotzdem danke nochmals
Grüße
P.S.: Das [mm]=1\to\infty[/mm] bezieht sich natürlich auf das n.
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