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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
[mm]\lambda_1 \cdot a_{11} + \lambda_2 \cdot a_{12} = 0[/mm]
[mm]\lambda_1 \cdot a_{21} + \lambda_2 \cdot a_{22} = 0[/mm]
die eindeutige Lösung [mm](\lambda_1, lambda_2) = (0, 0)[/mm] besitzt genau dann, wenn [mm]a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \not= 0[/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Mir fehlt ein Ansatz. Wenn ich [mm] a_{11} [/mm] bis [mm] a_{22} [/mm] als Matrix auffasse, heißt das ja nur, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, haben sie nur die triviale Lösung samt Rückrichtung.
Ich bin jetzt schon eine ganze Weile am Grübeln. Mein Problem ist, dass ich es gleich abgeben muss.
Ich habe verschiedene Ansätze überdacht, aber mir kam keiner richtig vor.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Ich gehe davon aus, dass die triviale Lösung eindeutig ist und versuche zu beweisen, dass dann gilt [mm]a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \not= 0[/mm]
[mm] "\Leftarrow"[/mm] [mm]a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} = 0[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt eine nichttriviale Lösung.
Wie kann ich das aufschreiben.
Wäre für schnelle Antworten dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Di 20.11.2007 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
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> [mm]\lambda_1 \cdot a_{11} + \lambda_2 \cdot a_{12} = 0[/mm]
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> [mm]\lambda_1 \cdot a_{21} + \lambda_2 \cdot a_{22} = 0[/mm]
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> die eindeutige Lösung [mm](\lambda_1, lambda_2) = (0, 0)[/mm]
> besitzt genau dann, wenn [mm]a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \not= 0[/mm]
> gilt.
> Wie kann ich das aufschreiben.
>
> Wäre für schnelle Antworten dankbar.
Also auf die Schnelle: Wenn die Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist, kannst du die Lösungen berechnen (Gauß-Elimination) und erhältst [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0.
Wenn das nicht so ist, dann lieferst du eine nicht-triviale Lösung ab, da mußt du evtl. Fälle unterscheiden: alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0 oder ein [mm] a_{ij} \not= [/mm] 0.
Ich hoffe, das reicht als Hinweis.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Di 20.11.2007 | | Autor: | Syladriel |
Vielen Dank für die schnelle Antwort
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