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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Do 10.12.2009 | | Autor: | Orso |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes AWP:
dx/dt = x cos(xy) x(0)=xo
dy/dt = -y cos(xy) y(0)=yo
a) Zeigen Sie, dass die rechte Seite des Systems lokal Lipschitz-stetig auf [mm] \IR^2 [/mm] ist.
b) skizzieren Sie in einem Phasenportrait alle Gleichgewichtspunkte des Systems.
c) Gibt es Lösungen mit geraden Trajektorien? Finden Sie diese Lösungen in expliziter form (x(t),y(t)).
d) Sei (xo,yo) Element [mm] R^2 [/mm] mit [mm] xo\not=0 [/mm] und [mm] yo\not=0 [/mm] kein Gleichgewichtspunkt. Finden Sie die Trajektorie, die durch (xo,yo) geht (in der Form y=y(x) ).
e) Finden Sie die Lösung (x(t),y(t)) des Systems mit [mm] xo=\pi, yo=\bruch{1}{3} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Habe einige Fragen, bzw. grundlegende Fragen zu dieser Aufgabe.
Zu a): Hatten einen Satz in der Vorlesung, der besagt, dass wenn alle Ableitungen von der rechten Seite f des Systems stetig und beschränkt sind, daraus die Lipschitz-Stetigkeit folgt. In Büchern habe ich diesen Satz jedoch ohne das Kriterium der Beschränktheit gefunden, was hier erheblich einfacher ist, denn es ist einfach zu zeigen, dass alle Ableitungen stetig sind. Kann mir jemand sagen, ob die Beschränktheit hier zu zeigen ist?
b) ist klar.
zu c) Wie ist "gerade Trajektorien" zu verstehen? Sind das Trajektorien der Form einer linearen Funktion , also der From y=mx+b ? Oder heisst das, dass das Punkte sind, an denen entweder x' oder y' Null sind, d.h. ein Richtunsvektor an einer bestimmten Stelle senkrecht bzw. waagerecht verläuft?
zu d) Sehe ich das richtig?
Das Lösen läuft auf das Bestimmen einer Stammfunktion F(x,y) einer exakten DGL ycos(xy) dx+ xcos(xy) dy=0 hinaus. Setzt man dann F(x,y)=C, kann man diese Gleichung nach y auflösen.
Habe hier dann aus F(x,y)=xy heraus, dass y(x)=C/x. Das Problem ist hier, dass y(0) gar nicht definiert ist, ich somit die Anfangswerte nicht nutzen kann. Oder mache ich hier einen Denkfehler?
zu e) Wie ich das sehe, sollte doch dieser Teil genauso wie Teil d) funktionieren, nur dass F(x,y)=C auch nach x auflösen muss. Hier habe ich dann noch konkrete Anfangswerte zur Bestimmung der Konstanten gegeben, wobei sich doch wieder das Problem ergibt, dass wie in d) y(0) und x(0) wieder nicht definiert sind und ich mit den Anfangswerten nichts anfangen kann.
Oder liegt mein Denkfehler hierin, dass y und x hier Funktionen in t also y(t) und x(t) sind. Da hier aber dann in meinen berechneten Funktionen y=C/x bzw x=C/y das t nicht explizit vorkommt, habe ich ja y in Abhängigkeit von x bzw x in Abh. von y und kann auch so meine Anfangswerte nicht nutzen.
Mache ich hier einen grundlegenden Denkfehler oder wie ist Aufgabenteil e) sonst zu verstehen?
Bin froh über jede Hilfe!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 11.12.2009 | | Autor: | cmueller |
Hallo, ich habe die gleiche Aufgabe und verstehe leider weniger als der Aufgabensteller ;)
ich habe grundsätzlich unheimliche Probleme mit Lipschitz- und allgemeiner Stetigkeit.
ich weiß ja, dass
$ [mm] \parallel [/mm] f(t,x)-f(t,y) [mm] \parallel [/mm] $< L [mm] $\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel$
[/mm]
ich das zeigen muss.
ich hatte mir jetzt gedacht, wenn ich das "nur" für die rechte seite zeigen muss, kann ich dann ja einsetzen, sodass da steht
[mm] $\parallel [/mm] xcos(xy)+ycos(xy) [mm] \parallel [/mm] < L [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel$
[/mm]
so ich beginne also mit der linken seite und will rechts rauskommen, und dann fangen meine probleme an^^
bringt es was, wennich ausklammer oder die dreiecksungleichung anwende?
und kannich von der max-norm ausgehen? (bráuche ich das überhaupt?)
oder hat orso recht und es geht viel einfacher mit dem satz, dass das lipschitzstetig ist, wenn die ableitungen stetig (und beschränkt) sind?
orso zu d)
wie kommst du auf F(x,y)=xy
ich krieg für das system F(x,y)=sin(xy)+d raus.
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Hallo cmueller,
> Hallo, ich habe die gleiche Aufgabe und verstehe leider
> weniger als der Aufgabensteller ;)
>
> ich habe grundsätzlich unheimliche Probleme mit Lipschitz-
> und allgemeiner Stetigkeit.
> ich weiß ja, dass
> [mm]\parallel f(t,x)-f(t,y) \parallel [/mm]< L [mm]\parallel x-y \parallel[/mm]
>
> ich das zeigen muss.
> ich hatte mir jetzt gedacht, wenn ich das "nur" für die
> rechte seite zeigen muss, kann ich dann ja einsetzen,
> sodass da steht
> [mm]\parallel xcos(xy)+ycos(xy) \parallel < L \parallel x-y \parallel[/mm]
>
> so ich beginne also mit der linken seite und will rechts
> rauskommen, und dann fangen meine probleme an^^
> bringt es was, wennich ausklammer oder die
> dreiecksungleichung anwende?
> und kannich von der max-norm ausgehen? (bráuche ich das
> überhaupt?)
>
> oder hat orso recht und es geht viel einfacher mit dem
> satz, dass das lipschitzstetig ist, wenn die ableitungen
> stetig (und beschränkt) sind?
Orso hat recht.
Lies Dir dazu die Antwort von Hans7er durch.
>
> orso zu d)
> wie kommst du auf F(x,y)=xy
> ich krieg für das system F(x,y)=sin(xy)+d raus.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Hans7er |
Hi Orso und cmueller,
fange gerade auch an mir die Aufgabe anzuschauen.
Zur ersten Frage nur kurz:
Der Satz in der VL spricht von Lipschitz-Stetigkeit, man braucht hier aber nur lokal Lipschitz-stetig und da x bzw. -y auf einem intervall immer beschränkt sind und cos(xy) aus -1 bis +1 ist die beschränktheit lokal erfüllt.
Gruß
Hans7er
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also ich hab ja verstanden was bei der 1 gemacht werden muss, aber ich kriegs ums verrecken nich hin, die stetigkeit der ableitungen zu beweisen.
kann mir jemand helfen/einen Tipp oder Ansatz geben?
Stetigkeit hat mir schon in Ana1 schwierigkeiten gemacht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 So 13.12.2009 | | Autor: | nikinho |
ich hab einfach hingeschrieben: stetig da verkettung stetiger funktionen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 15.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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