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| Aufgabe | Bestimme für die autonome DGL
x' = [mm] -x^{2} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] D := [mm] \IR
[/mm]
zu jedem [mm] \mu \in [/mm] D das max. Existenzintervall [mm] J_{\mu} [/mm] und zu jedem t [mm] \in \IR [/mm] den Definitionsbereich [mm] D_{t} [/mm] von [mm] T_{t}, [/mm] wobei:
[mm] D_{t} [/mm] ={ [mm] \mu \in [/mm] D: t [mm] \in J_{\mu}}
[/mm]
[mm] T_{t}: D_{t} \to D_{-t}, \mu \to T_{t} \mu [/mm] := [mm] u_{\mu}(t) [/mm] |
Hallo,
ich habe bereits die Lösung dieser DGl gelöst. Dieses ist doch, wenn ich mich nicht verrechnet habe  , x(t) = [mm] e^{-t} [/mm] C, mit C = [mm] e^{c}, [/mm] c konstant, denn wir haben hier doch eine DGL der Form x'(t)+g(t)x(t) = 0, wobei hier g(t) = 1 ist. Also ist G(t) = t die Stammfunktion.
(ln x(t) = -G(t) + c, also folgt: x(t) = x(t) = [mm] e^{-t} [/mm] C) Stimmts?
Wie soll ich aber jetzt die maximalen Ex.intervalle für jedes [mm] \mu [/mm] finden? Wie muss ich hier vorgehen?
Ausßerdem muss ich gewisse Flusseigenschaften der Familie [mm] (T_{t})_{t \in \IR} [/mm] überprüfen:
i) [mm] D_{0}=D, T_{0} \mu [/mm] = [mm] \mu \forall \in [/mm] D, d.h. [mm] T_{0}=id
[/mm]
ii) [mm] \forall [/mm] s,t [mm] \in \IR, \mu \in D_{t}: T_{t} \mu \in D_{s} [/mm] gdw [mm] \mu \in D_{s+t}, [/mm] und dann [mm] T_{s}(T_{t}\mu)= T_{s+t} \mu
[/mm]
Insbesondere: [mm] T_{t}:D_{t} \to \D_{-t} [/mm] ist Bijektion mit Inverser [mm] T_{-t}.
[/mm]
Danke für die Hilfe!
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo milka
> Bestimme für die autonome DGL
> x' = [mm]-x^{2}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] D := [mm]\IR[/mm]
> zu jedem [mm]\mu \in[/mm] D das max. Existenzintervall [mm]J_{\mu}[/mm] und
> zu jedem t [mm]\in \IR[/mm] den Definitionsbereich [mm]D_{t}[/mm] von [mm]T_{t},[/mm]
> wobei:
> [mm]D_{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={ [mm]\mu \in[/mm] D: t [mm]\in J_{\mu}}[/mm]
> [mm]T_{t}: D_{t} \to D_{-t}, \mu \to T_{t} \mu[/mm]
> := [mm]u_{\mu}(t)[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe bereits die Lösung dieser DGl gelöst. Dieses ist
> doch, wenn ich mich nicht verrechnet habe , x(t) =
> [mm]e^{-t}[/mm] C, mit C = [mm]e^{c},[/mm] c konstant, denn wir haben hier
> doch eine DGL der Form x'(t)+g(t)x(t) = 0, wobei hier g(t)
> = 1 ist. Also ist G(t) = t die Stammfunktion.
Nein, da steht doch [mm] x^{2} [/mm] und nicht x!
Die Gleichung löst du durch Trennung der Variablen!
Wenn du ne Lösung hast, immer in die Ausgangsgleichung zur Probe einsetzen, dann merkst du Fehler selbst!
Gruss leduart
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Hallo,
ich habe die Aufgabe jetzt nochmal überarbeitet. Ich weiß aber nicht, ob sie so stimmt. Wie löse ich jetzt ganz unten, wo ich angekommen bin, nach der Lösung x(t) auf?
Also die DGL lautet x' (t) = [mm] -x^{2}(t)
[/mm]
Sie ist also von der Form x' = g(t)h(x), also hier ist g(t) = -1 und h(x) = [mm] x^{2} [/mm] und der Anfangswert [mm] x(\lambda) [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Also finde ich meine Lösung aus folgender Gleichung:
[mm] \integral_{\mu}^{x(t)}{ \bruch{du}{h(u)}}= \integral_{\lambda}^{t}{g(s) ds}
[/mm]
Also habe ich diese Gleichung auf meinen Fall angepasst:
[mm] \integral_{\mu}^{x(t)}{ \bruch{du}{u^{2}}}= [/mm] [ [mm] \bruch{1}{2u}ln(u^{2})]_{\mu}^{x(t)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x(t)} ln(x(t)^{2})- \bruch{1}{2\mu}ln(\mu^{2}) [/mm] und
[mm] \integral_{\lambda}^{t}{-1 ds} [/mm] = [mm] -(t-\lambda) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] -t
Jetzt setze ich die beiden Ergebnisse gleich und erhalte:
[mm] \mu ln(x(t)^{2})-x(t) ln(\mu^{2}) [/mm] = 2 x(t) [mm] \mu (\lambda-t)
[/mm]
Wie löse ich jetzt nach x(t) auf?
Und wie muss ich vorgehen um zu jedem [mm] \mu [/mm] die max. Existenzintervalle zu bekommen?
Danke!
milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Milka
die Stammfunktion von [mm] 1/x^{2} [/mm] ist NICHT [mm] ln(x^{2})/x [/mm] sondern? (Immer bei vermuteten Stammfkt wieder ableiten, um Fehler zu vermeiden! [mm] ln(x^{2}))'=2/x [/mm] )!
schreib mal [mm] x^{-2} [/mm] statt [mm] 1/x^{2} [/mm] dann solltest du es können!
Gruss leduart
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Hallo,
naja das mit dem Stammfunktionen ist nicht so mein Ding...
Ich hab das jetzt als [mm] u^{-2} [/mm] geschrieben, und hab als Stammfunktion dieses Teilintegrals - [mm] \bruch{1}{u} [/mm] rausbekommen, und das an den entsprechenden Grenzen ausgewertet, also ist das Ergebnis - [mm] \bruch{1}{x(t)}+ \bruch{1}{\mu}
[/mm]
Also habe ich dann die beiden Teilintegrale gleichgesetzt und erhalte:
x(t) = [mm] \bruch{\mu}{(1-\mu\lambda+t\mu)}
[/mm]
Wie finde ich jetzt die max. Ex.intervalle für jedes [mm] \mu [/mm] und jedem [mm] t\in \IR [/mm] den Def.bereich? Woher weiß ich welche [mm] \mu-Werte [/mm] ich einsetzen darf, denn [mm] \mu [/mm] ist ja [mm] \in [/mm] D := [mm] \IR.
[/mm]
Danke!
Gruß, milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Milka
Ein bissel mehr rumexperimentieren solltest du, bevor du fragst. Wenn man was allgemeines nicht kann, dann fängt man mal konkret an z.Bsp.
x(0)=1, x(0)=17 0der x(2)=0 oder x(7)=8
Wie sieht jetzt x(t) aus? Was ist das Def. Bereich? und dann versuchst dus allgemein!
Gruss leduart
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