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| Aufgabe | | Zu welcher Gruppe ist Aut [mm] V_{4} [/mm] isomorph? |
Hallo liebe Leute,
ich bereite mich gerade auf meine Mathe-Prüfung vor und dabei wird es wahrscheinlich auch um Automorphismen gehen. Ich habe soweit verstanden, dass man eine bijektive Abbildung der Gruppe auf sich finden muss, die dann auch strukturerhaltend ist. Mein Problem an der Sache: wie finde ich diese Abbildung? Das neutrale Element muss auf sich abgebildet werden und dann? Ist das egal?
Bei der obigen Aufgabe habe ich erst einmal versucht, die Automorphismen raus zu bekommen. Ich weiß, dass die Lösung isomorph zu [mm] D_{3} [/mm] ist, aber ich habe die Permutationen gar nicht ausprobiert, weil doch in der Gruppe jedes Element selbstinvers ist.
Es müssen doch dann auch wieder gleich viele selbstinverse Elemente unter der Abbildung rauskommen oder nicht? Und wenn ich e mal als neutrales Element außen vor lasse und nur a, b, c als Permutationen vertausche, dann kommt das ja nicht mehr hin...
Tja,... wie ihr merkt, ich bin ein bisschen ratlos... also, ich hoffe, ich habe nicht zu wirr geschrieben und es kann jemand helfen...
Danke schon einmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 So 08.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zu welcher Gruppe ist Aut [mm]V_{4}[/mm] isomorph?
Bedenke: [mm] $V_4 \cong \IZ_2 \times \IZ_2$.
[/mm]
Du kannst [mm] $V_4$ [/mm] also als zweidimensionalen [mm] $\IZ_2$-Vektorraum [/mm] auffassen: die Gruppen-Automorphismen sind ebenfalls [mm] $\IZ_2$-Vektorraum-Isomorphismen. [/mm] Damit hast du schonmal etwas Hilfsmittel zur Hand mit denen du das machen kannst.
Aber es geht auch anders:
> ich bereite mich gerade auf meine Mathe-Prüfung vor und
> dabei wird es wahrscheinlich auch um Automorphismen gehen.
> Ich habe soweit verstanden, dass man eine bijektive
> Abbildung der Gruppe auf sich finden muss, die dann auch
> strukturerhaltend ist. Mein Problem an der Sache: wie finde
> ich diese Abbildung? Das neutrale Element muss auf sich
> abgebildet werden und dann? Ist das egal?
Nein, danach ist es nicht egal -- normalerweise. Hier allerdings schon. Wenn du in [mm] $V_4$ [/mm] die nicht-neutralen Elemente beliebig vertauscht, ist dies ein Automorphismus. Das musst du allerdings nachpruefen.
> Bei der obigen Aufgabe habe ich erst einmal versucht, die
> Automorphismen raus zu bekommen. Ich weiß, dass die Lösung
> isomorph zu [mm]D_{3}[/mm] ist,
... was gleich [mm] $S_3$ [/mm] ist ...
> aber ich habe die Permutationen gar
> nicht ausprobiert, weil doch in der Gruppe jedes Element
> selbstinvers ist.
Das hat damit auch nichts zu tun.
> Es müssen doch dann auch wieder gleich viele selbstinverse
> Elemente unter der Abbildung rauskommen oder nicht? Und
Ja. Aber da jedes nicht-neutrale Element selbstinvers ist ist das natuerlich immer erfuellt.
> wenn ich e mal als neutrales Element außen vor lasse und
> nur a, b, c als Permutationen vertausche, dann kommt das ja
> nicht mehr hin...
Wieso?
Bedenke doch folgendes: wenn du zwei Elemente $x, y$ aus [mm] $\{ a, b, c \}$ [/mm] nimmst, dann ist das dritte gerade $x + y$. Damit kannst du zeigen, dass jede Permutation von [mm] $\{ a, b, c \}$ [/mm] ein Gruppenautomorphismus ist.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke, das hat mir sehr geholfen! Ich denke, ich habe es verstanden...
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