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| Aufgabe | | Wieviele Automorphismen besitzt [mm] \IQ [/mm] als Menge, als abelsche Gruppe und als kommutativer Ring? |
Hallo,
ich weiß, dass bei einem Automorphismus gelten muss, dass es sich um einen Isomorphismus handeln muss mit f: G [mm] \to [/mm] G, also in diesem Fall:
f: [mm] \IQ \to \IQ. [/mm]
Aber den Rest verstehe ich nicht. Wie kann ich an die Aufgabe ran gehen? Könnt ihr mir da Hilfestellung leisten? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 So 15.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir klar, dass für jedes a [mm] \in \IQ [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0, die Abbildung [mm] f_a: \IQ \to \IQ, $f_a(x):=a*x$, [/mm] ein Automorphismus der Abelschen Gruppe [mm] \IQ [/mm] ist.
Zeige umgekehrt: ist f: [mm] \IQ \to \IQ [/mm] ein Automorphismus der Abelschen Gruppe [mm] \IQ [/mm] , so gibt es ein a [mm] \in \IQ [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0 und
$f(x)=a*x$ für alle x [mm] \in \IQ.
[/mm]
FRED
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Also gibt es ja unendlich viele Automorphismen?
Da ich ja a beliebig [mm] \in \IQ [/mm] wählen kann.
Wenn ich also [mm] \IQ [/mm] als Menge betrachte, dann enthält diese Menge ja alle Brüche die es gibt, also unendlich viele Brüche. Und wenn ich x [mm] \to [/mm] a*x abbilde, dann kann ich ja immer beliebige a [mm] \in \IQ [/mm] wählen kann und hab unendlich viele Lösungen. Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also gibt es ja unendlich viele Automorphismen?
> Da ich ja a beliebig [mm]\in \IQ[/mm] wählen kann.
>
> Wenn ich also [mm]\IQ[/mm] als Menge betrachte, dann enthält diese
> Menge ja alle Brüche die es gibt, also unendlich viele
> Brüche. Und wenn ich x [mm]\to[/mm] a*x abbilde, dann kann ich ja
> immer beliebige a [mm]\in \IQ[/mm] wählen kann und hab unendlich
> viele Lösungen. Ist das so korrekt?
Ja, für jedes a [mm] \in \IQ [/mm] ist $ [mm] f_a: \IQ \to \IQ, [/mm] $ $ [mm] f_a(x):=a\cdot{}x [/mm] $ ein Kandidat und andere gibt es nicht. Das ist zu zeigen !
FRED
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Aber laut diesem Link:
http://mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig/Vorlesungen/ss2006/linalgebra/Skript05.pdf
Ist Q starr, also hat nur einen Automorphismus, oder? Oder gilt das nur bei Q als kommutativer Ring?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber laut diesem Link:
>
> http://mathematik.ph-weingarten.de/~ludwig/Vorlesungen/ss2006/linalgebra/Skript05.pdf
> Ist Q starr, also hat nur einen Automorphismus, oder? Oder
> gilt das nur bei Q als kommutativer Ring?
1. Für einen Automorphismus f: [mm] \IQ \to \IQ [/mm] der abelschen Gruppe [mm] \IQ [/mm] gilt:
f ist bijektiv, f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y [mm] \in \IQ [/mm] und f(0)=0.
Nochmal: f ist ein solcher Automorphismus [mm] \gdw [/mm] es ex. ein a [mm] \in \IQ [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0 und f(x)=ax für alle x [mm] \in \IQ.
[/mm]
2. Für einen Automorphismus f: [mm] \IQ \to \IQ [/mm] des kommutativen Ringes [mm] \IQ [/mm] gilt:
f ist bijektiv, f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y [mm] \in \IQ, [/mm] f(xy)=f(x)f(y) für alle x,y [mm] \in \IQ, [/mm] f(0)=0 und f(1)=1.
Ist f ein solcher Automorphismus, so ist f auch ein Automorphismus der abelschen Gruppe [mm] \IQ. [/mm] Nach 1. gibt es also ein a [mm] \in \IQ [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0 und f(x)=ax für alle x [mm] \in \IQ.
[/mm]
Was liefert nun die Bedingung f(1)=1 ?
FRED
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