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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Do 03.09.2009 | | Autor: | s222 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu Austauschräumen. Ich habe die Definition und die zugehörigen Sätze etc. vor mir liegen, aber so wirklich kann ich da nichts mit anfangen... Also ich verstehe so einigermaßen die Theorie, aber ich wüsste nicht wie ich das anwenden soll. Wie kann man z.B den Verbindungssatz dazu benutzen um zu zeigen, dass ein Raum Austauschraum ist? Das Austauschaxiom ist doch eher dazu geeignet zu zeigen dass ein Raum kein Austauschraum ist, also wenn es verletzt wird, oder? Mein Problem ist, dass ich keine richtigen Beispiele oder Aufgaben dazu habe und auch im Netz nichts passendes finden konnte...
Vielleicht hat ja jemand ein schönes Anwendungsbeispiel für mich.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Fr 04.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe eine Frage zu Austauschräumen.
Ich nehme an, das es sich um den Begriff handelt, wie er ![[]](/images/popup.gif) hier definiert wird (das hab ich per google gefunden; andersweitig ist mir der Begriff noch nie untergekommen).
> Ich habe die
> Definition und die zugehörigen Sätze etc. vor mir liegen,
> aber so wirklich kann ich da nichts mit anfangen... Also
> ich verstehe so einigermaßen die Theorie, aber ich wüsste
> nicht wie ich das anwenden soll.
Bei Vektorraeumen hast du ja linear unabhaengige Systeme (und maximale davon heissen Basen). Ein sehr wichtiger Satz dort ist der Basisaustauschsatz.
Man kann den Begriff "linear unabhaengig" oder "lineare Huelle" nun auch in anderen Raeumen verwenden, z.B. in affinen oder projektiven Raeumen. Und ebenso wie bei Vektorraeumen hat man dort gewisse Aussagen, wie den Basisaustauschsatz.
Und da man in der Mathematik gerne verallgemeinert, hat man deswegen das Konstrukt des Austauschraumes eingefuehrt, um Aussagen dazu moeglichst allgemein treffen zu koennen und diese auf moeglichst viele Dinge anwenden zu koennen: damit man eine Aussage ueber Austauschraeume anwenden kann, muss man nur zeigen, das etwas ein Austauschraum ist. Und schon hat man Definition wie die Dimension, und man hat die Gleichmaechtigkeit zweier Basen etc.
Eine aehnliche Verallgemeinerung ist uebrigens ein Matroid; wenn du dir diesen Abschnitt anschaust, siehst du dass Matroide im Prinzip "das gleiche" wie Austauschraeume sind: aus einem Matroid bekommst du einen Austauschraum und umgekehrt (per Umweg ueber den Huellenoperator).
> Wie kann man z.B den
> Verbindungssatz dazu benutzen um zu zeigen, dass ein Raum
> Austauschraum ist?
Den Satz kenn ich nicht.
> Das Austauschaxiom ist doch eher dazu
> geeignet zu zeigen dass ein Raum kein Austauschraum ist,
> also wenn es verletzt wird, oder?
Och, man kann damit auch zeigen, dass etwas ein Austauschraum ist, z.B. um zu zeigen das ein Vektorraum ein Austauschraum ist. Dies zu zeigen ist ein Standardsatz in der linearen Algebra (nur das man das Kind dort nicht beim Namen nennt).
Und wenn du die allgemeine Theorie fuer Auswahlraeume hast, und zeigst, dass ein Vektorraum einer ist, bekommst du automatisch die Dimensionstheorie fuer Vektorraeume geliefert. Und wenn du zeigst, dass ein projektiver Raum (oder ein affiner Raum) ein Austauschraum ist, bekommst du die Resultate auch dort -- ohne etwas neu beweisen zu muessen.
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Fr 04.09.2009 | | Autor: | s222 |
Okay, vielen Dank! Jetzt ist mir auf jeden Fall klarer wozu man das braucht.
Im Link ist es ja auch noch mal erkärt, und das Bsp. 3 ist so eine Anwendung wie ich gesucht hab... Da zeigt man ja entweder mit dem Basisergänzungssatz, oder dem Austauchaxiom, dass beide nicht gelten und der Inzidenzraum damit kein Austauschraum ist. Das verstehe ich auch! Man braucht ja nur ein Gegenbeispiel. Wie ist es denn aber wenn es jetzt ein Austauchraum wäre, müsste man dann alle Möglichkeiten durchprobieren? Das kann ja nicht sein, das muss doch auch allgemein zu überprüfen sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Sa 05.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay, vielen Dank! Jetzt ist mir auf jeden Fall klarer wozu
> man das braucht.
Gut :)
> Im Link ist es ja auch noch mal erkärt, und das Bsp. 3
> ist so eine Anwendung wie ich gesucht hab...
Welches Beispiel 3 meinst du?
> Da zeigt man
> ja entweder mit dem Basisergänzungssatz, oder dem
> Austauchaxiom, dass beide nicht gelten und der Inzidenzraum
> damit kein Austauschraum ist. Das verstehe ich auch! Man
> braucht ja nur ein Gegenbeispiel.
Ja.
> Wie ist es denn aber wenn
> es jetzt ein Austauchraum wäre, müsste man dann alle
> Möglichkeiten durchprobieren? Das kann ja nicht sein, das
> muss doch auch allgemein zu überprüfen sein, oder?
Nun, entweder man probiert alle Moeglichkeiten durch (was bei kleinen endlichen Raeumen geht), oder man beweist "allgemein" das es geht -- etwa allgemein fuer Vektorraeume, dann ist natuerlich jeder konkret gegebene Vektorraum ein Austauschraum.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Fr 04.09.2009 | | Autor: | s222 |
hab das Skript noch ein wenig weiter gelesen, da kommt dann auf Seite 97 auch der Verbindungssatz. Und dann kommt ein Beweis, der zeigt, dass alle affinen und projektiven Räume Austauschräume sind und dazu den Verbindungssatz benutzt.
Das ist mir zwar grad noch nicht alles komplett klar, aber wenn ich mich noch etwas damit befasse wirds wohl verständlicher werden...
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